第五专题矩阵的数值特征(行列式范数条件数迹秩相对特征根)

第五专题矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知Ap×q,Bq×p,则|Ip+AB|=|Iq+BA|证明一：参照课本194页，例4.3.证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而Ip+AB，Iq+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。行列式是特征值的乘积，因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。定义：nniiii1i1tr(A)a，etrA=exp(trA)性质：1.tr(AB)tr(A)tr(B)，线性性质；2.Ttr(A)tr(A)；3.tr(AB)tr(BA)；4.1tr(PAP)tr(A)；5.HHtr(xAx)tr(Axx),x为向量；6.nnkkiii1i1tr(A),tr(A);从Schur定理（或Jordan标准形）和（4）证明；7.A0,则tr(A)0,且等号成立的充要条件是A=0；8.AB(AB0)即,则tr(A)tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B（iiAB(A)(B)）；9.对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得Ak=0,则tr(A)=0（从Schur定理或Jordan标准形证明）。若干基本不等式对于两个m×n复矩阵A和B，tr(AHB)是m×n维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m×n复矩阵A和B|tr(AHB)|2≤tr(AHA)﹒tr(BHB)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时0≤|tr(AB)|≤22tr(A)tr(B)定理：设A和B为两个n阶Hermite阵,且A≥0，B≥0，则0≤tr(AB)≤λ1(B)tr(A)≤tr(A)﹒tr(B)λ1(B)表示B的最大特征值。证明：tr(AB)=tr(A1/2BA1/2)≥0，又因为A1/2[λ1(B)I-B]A1/2≥0，所以λ1(B)tr(A)≥A1/2BA1/2，得tr(AB)=tr(A1/2BA1/2)≤tr(λ1(B)A)=λ1(B)tr(A)≤tr(A)﹒tr(B)推论：设A为Hermite矩阵，且A0，则tr(A)tr(A-1)≥n另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考《矩阵论中不等式》。三、矩阵的秩矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的。它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。定义：矩阵A的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。记为rank(A)性质：1.rank(AB)min(rank(A),rank(B))；2.rank(AB)rank(A,B)rank(A)rank(B)；3.HHrank(AA)rank(A)rank(A)；4.rank(A)rank(XA)rank(AY)rank(XAY)，其中X列满秩，Y行满秩（消去法则）。定理（Sylvester）：设A和B分别为m×n和n×l矩阵，则rank(A)rank(B)nrank(AB)min(rank(A),rank(B))Sylveste定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的《矩阵论中不等式》，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。四、相对特征根定义：设A和B均为P阶实对称阵，B0，方程|A-λB|=0的根称为A相对于B的特征根。性质：|A-λB|=0等价于|B-1/2AB-1/2-λI|=0(因为B0，所以B1/20)注：求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是实对称阵，所以特征根为实数。定义：使(A-λiB)li=0的非零向量li称为对应于λi的A相对于B的特征向量。性质：①设l是相对于λ的AB-1的特征向量，则AB-1l=λl或A(B-1l)=λB(B-1l)B-1l为对应λ的A相对于B的特征向量（转化为求AB-1的特征向量问题）。②设l是相对于λ的B-1/2AB-1/2的特征向量，则B-1/2AB-1/2l=λl可得A(B-1/2l)=λB(B-1/2l)则B-1/2l为对应λ的A相对于B的特征向量（转化为求B-1/2AB-1/2对称阵的特征向量问题）。五、向量范数与矩阵范数向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。先讨论向量范数。1.向量范数定义：设V为数域F上的线性空间，若对于V的任一向量x，对应一个实值函数x，并满足以下三个条件：（1）非负性x0，等号当且仅当x=0时成立；（2）齐次性xx,k,xV;（3）三角不等式xyxy,x,yV。则称x为V中向量x的范数，简称为向量范数。定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间。例1.nxC，它可表示成T12nx，iC，1n22i2i1x就是一种范数，称为欧氏范数或2-范数。证明：（i）非负性1n22i2i1x0，当且仅当i0i1,2,,n时，即x＝0时，2x＝0（ii）齐次性11nn2222ii22i1i1xx（iii）三角不等式T12ny，iCT1122nnxyn22ii2i1xy22222iiiiiiiiii2Re2n222ii222i1xyxy2222222222xyxy2xy根据Hölder不等式：11nnnpqpqiiiii1i1i1abab，ii11p,q1,1,a,b0pq11nnn2222iiii22i1i1i1xy222xyxy2.常用的向量范数（设向量为T12nx）1-范数：ni1i1x；∞-范数：1inximax；P-范数：1nppipi1x（p1,p=1,2,…,∞,）;2-范数：1H22xxx;椭圆范数(2-范数的推广):1H2AxxAx，A为Hermite正定阵.加权范数：1n22iiwi1xw，当12nAWdiag，iw0证明：px显然满足非负性和齐次性（iii）T12ny1nppipi1x，1nppipi1y，1nppiipi1xynnppp1iiiiiipi1i1nnp1p1iiiiiii1i1xy应用Hölder不等式11nnnqpp1p1qpiiiiiii1i1i111nnnqpp1p1qpiiiiiii1i1i1111p1qppq111nnnnqppppppiiiiiii1i1i1i1111nnnppppppiiiii1i1i1即pppxyxy3.向量范数的等价性定理设、为nC的两种向量范数，则必定存在正数m、M，使得mxxMx，（m、M与x无关），称此为向量范数的等价性。同时有11xxxMm注：（1）对某一向量X而言，如果它的某一种范数小（或大），那么它的其它范数也小（或大）。（2）不同的向量范数可能大小不同，但在考虑向量序列的收敛性问题时，却表现出明显的一致性。4、矩阵范数向量范数的概念推广到矩阵情况。因为一个m×n阶矩阵可以看成一个mn维向量，所以mnC中任何一种向量范数都可以认为是m×n阶矩阵的矩阵范数。1.矩阵范数定义：设mnC表示数域C上全体mn阶矩阵的集合。若对于mnC中任一矩阵A，均对应一个实值函数A，并满足以下四个条件：（1）非负性：A0，等号当且仅当A=0时成立；（2）齐次性：AA,C;（3）三角不等式：mnABAB,A,BC,则称A为广义矩阵范数；（4）相容性：ABAB,则称A为矩阵范数。5.常用的矩阵范数（1）Frobenius范数（F-范数）F-范数：12n2ijFij1Aa，=n2Hijij1atrace(AA)，=n2ii1矩阵和向量之间常以乘积的形式出现，因而需要考虑矩阵范数与向量范数的协调性。定义：如果矩阵范数A和向量范数x满足AxAx则称这两种范数是相容的。给一种向量范数后，我们总可以找到一个矩阵范数与之相容。（2）诱导范数设A∈Cm×n，x∈Cn,x为x的某种向量范数，记x1AmaxAx则A是矩阵A的且与x相容的矩阵范数，也称之为A的诱导范数或算子范数。（3）p-范数：pppAxAmaxx，ijmnAa,x为所有可能的向量，T12nx，ppxx，pp1AxAx0pppx1AmaxAx111x1AmaxAx，ni1i1x1，nnijj1i1j1Axa可以证明下列矩阵范数都是诱导范数：（1）nij11jni1Amaxa列（和）范数；（2）Hi21inAmax(AA)谱范数；HAA的最大特征值称为HAA的谱半径。当A是Hermite矩阵时，i21inAmax(A)是A的谱半径。注：谱范数有许多良好的性质，因而经常用到。2HH2222AA;AAA（3）nij1imj1Amaxa行（和）范数（x1nppii1ini1pmax，2x1n22ii1）定理矩阵A的任意一种范数A是A的元素的连续函数；矩阵A的任意两种范数是等价的。定理设A∈Cn×n，x∈Cn,则FA和2x是相容的即2F2AxAx证明：由于222F2AxAxAx成立。定理设A∈Cn×n，则FA是酉不变的，即对于任意酉矩阵U,V∈Cn×n，有FFAUAV证明：HFUAVtr[(UAV)(UAV)]HHHHHtr[VAUUAV]tr[VAAV]HHHFtr[AAVV]tr(AA)A定义设A∈Cn×n，A的所有不同特征值组成的集合称为A的谱；特征值的模的最大值称为A的谱半径，记为ρ(A)。定理ρ(A)不大于A的任何一种诱导范数，即ρ(A)≤A证明：设λ是A的任意特征值，x是相应的特征向量，即Ax=λx则|λ|·||x||=||Ax||≤||A||·||x||,||x||≠0即|λ|≤||A||试证：设A是n阶方阵，||A||是诱导范数，当||A||1时，I-A可逆，且有||(I-A)-1||≤(1-||A||)-1证明：若I-A不可逆，则齐次线性方程组(I-A)x=0有非零解x，即x=Ax，因而有||x||=||Ax||≤||A||﹒||x||||x||但这是不可能的，故I-A可逆。于是(I-A)-1=[(I-A)+A](I-A)-1=I+A(I-A)-1因此||(I-A)-1||≤||I||+||A(I-A)-1||=1+||A(I-A)-1||≤1+||A||﹒||(I-A)-1||即证||(I-A)-1||≤(1-||