初中数学.轴对称与等腰三角形

MSDC模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形C级.第01讲.学生版Page1of15内容基本要求略高要求较高要求轴对称了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分性质；了解物体的镜面对称能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及相关性质。能运用轴对称进行图案设计旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题；平移了解图形平移，理解平移中对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等的性质能按要求作出简单平面图形平移后的图形；能依据平移前后的图形，指出平移的方向和距离能运用平移的知识解决简单的计算问题；等腰三角形了解等腰三角形、等边三角形的概念，会识别这二种图形，并理解这二种图形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题能用等腰三角形、等边三角形的知识解决有关问题1．轴对称及等腰三角形性质的综合应用2．全等三角形与轴对称、旋转、平移变换的综合应用版块一轴对称例题精讲中考要求重难点轴对称与等腰三角形MSDC模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形C级.第01讲.学生版Page2of15☞垂直平分线类垂直平分线：“垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等”，主要是转化线段之间的关系，尤其是在轴对称有关作图中，应用更为广泛【例1】如图ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F.⑴说明BECF的理由；⑵如果ABa，ACb，求AE，BE的长.GFEDCBA【例2】如图，ABAC，ADAE，BE和CD相交于点O，AO的延长线交BC于点F。求证：BFFC。FOEDCBA☞双对称轴路程和最短问题【例3】如图，30AOB，角内有点P，且5OP，在角的两边有两点Q、R（均不同于O点），则PQR△的周长的最小值为．OPABMSDC模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形C级.第01讲.学生版Page3of15【巩固】如图，在POQ内部有M点和N点，同时能使MOPNOQ，这时在直线OP上再取A点，使从A点到M点及N点的距离和为最小；在直线OQ上也取B点，使从B点到M点和N点的距离和也最小．证明：AMANBMBN．QONMPBA☞多对称轴路程和最短问题【例4】如图，当点A与123lll、、连续相撞时，假设入射角等于反射角，求作出点A向点B运动时的最短路程l3l2l1BA【例5】如图，矩形台球桌ABCD上有两个球PQ、，求作一击球路线，使P球顺次撞击球桌四边后再撞击Q球（球撞击桌边的入射角等于反射角）DCBAQP☞平移路程和最短问题【例6】如图，在a上找到M、N两点，且10MN，M在N的左边，使四边形ABMN的周长最短。BAaMSDC模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形C级.第01讲.学生版Page4of15【巩固】如图，AB，两村相隔一条河，为使两村之间行程最短，应在河的什么位置架一座桥？（河岸可看成平行线，桥是垂直于河岸的）l2l1BA☞轴对称与路程差最大问题【例1】已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得||BMAM最大。BAl【巩固】求在直线l上找一点P，使得直线l为APB的角平分线BA版块二、等腰三角形【例7】已知ABC中，90A，67.5B.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种．．不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.CBACBAMSDC模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形C级.第01讲.学生版Page5of15【例8】等腰三角形的顶角90，如果过它的顶角顶点作一直线能够将它分成两个等腰三角形，求．ABCD【例9】P为等腰三角形ABC的底边AB上的任意一点，PEAC于点E，PFBC于点F，ADBC点D，如图，求证：PEPFAD．ABCEDPF【巩固】如图，点P为等腰三角形ABC的底边BA的延长线上的一点，PECA的延长线于点E，PFBC于点F，ADBC于点D．PE、PF、AD之间存在着怎样的数量关系?ABCEDPF【例10】如下图，ABC是等边三角形，122CBFACDBAE∶∶∶∶，38DEFDFE．求出DEF的每个内角度数．FEDCBAMSDC模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形C级.第01讲.学生版Page6of15【巩固】如图所示，已知ABC，延长CA、AB、BC到D、E、F，连接DE、EF、FD，使得AEDBFECDF，若60ABC，50DFE，求BAC及EDF的度数．ABCDEF【例11】如图，六边形ABCDEF中，ABCDEF，且AB+BC11，FACD3．求BCDE．FEDCBA模块三全等三角形与轴对称☞角平分线类“角”是轴对称图形，对称轴为角平分线所在的直线。因此在遇见与角平分线有关问题的时候，可以有下面几个基本解题思路：①平分角；②角平分线上点到角两边的距离相等；③沿角平分线进行翻折。【例12】已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明。ODECBAMSDC模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形C级.第01讲.学生版Page7of15【例13】如图，在RtABC中，AD是斜边BC上的高，BE是ABC的平分线，AD交BE于O，EFAD于F，求证：AFOD．OFDECBA21【例14】已知在ABC中，90A，B的平分线交AC于E，交BC边上的高AH于D，过D作DFBC∥交AC于F，求证：AEFC．HFEDCBA☞构造等腰三角形类构造等腰三角形类的主要方法有两种：①是将直角三角形沿着某一直角边翻折；②是截取等长线段【例15】如图，在ABC△中，46ABC，D是BC边上一点，DCAB，21DAB，试确定CAD的度数．ABCDMSDC模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形C级.第01讲.学生版Page8of15☞构造等边三角形类构造等边三角形类的方式主要有两种：①直接以某一线段长为边，直接构造等边三角形；②作等腰三角形，然后利用题目给出的特殊角，如60，证明此等腰三角形为等边三角形【例16】如图，BD是ABC的角平分线，60A，2ADCDAB,判断ABC的度数并说明理由。答：ABC=证明：DCBA【巩固】如图，在等腰ABC△中，ABAC，顶角20A，在边AB上取点D，使ADBC，求BDC的度数。DCBAMSDC模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形C级.第01讲.学生版Page9of15【例17】如图，在ABC△中，40ABC，40ACB，P为三角形内的一点，且20PCA，20PAB，求PBC的度数。PCBA模块四全等三角形与旋转☞倍长中线类倍长中线是我们耳熟能详的一种辅助线的作法，其实此作法最主要是通过旋转的方式，构造出一对“8”字型全等三角形，从而转化线段与角的数量关系【例18】在后面的学习中，我们会学习到与直角三角形斜边上有关的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用数学语言改编如下：已知：在RtABC中，90C，D为斜边AB的中点，证明:12CDABDCBA【巩固】两个全等的含30、60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME、MC，试判断EMC的形状，并说明理由．AECBMDMSDC模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形C级.第01讲.学生版Page10of15☞一般等腰三角形旋转一般等腰三角形旋转的问题主要有：①通过对等腰三角形旋转，构造全等三角形；②通过对一般三角形旋转构造等腰三角形【例19】如图，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点,MN分别在,ABAC上，则AMN的周长是．NMDCBA☞等腰直角三角形旋转等腰直角三角形旋转有关问题要充分考虑到：“边相等”“角相等”，还有斜边上的中线，这条特殊的线段，尤其是涉及到斜边中点的时候，基本上都会连接这条中线【例20】已知：在RtABC中，ABBC，在RtADE中，ADDE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．⑴若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；⑵如果将图①中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．ABCDEMABCDEMMSDC模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形C级.第01讲.学生版Page11of15☞等边三角形旋转【例21】如图，已知四边形ABCD中，,60ABADBAD，120BCD，证明：BCDCAC．DCBA☞三垂直全等及三垂直的变形三垂直模型及其变形最主要的是转化角度之间的关系【例22】在ABC△中，90ACB，ACBC，直线MN经过C点，且ADMN于D，BEMN于E．⑴当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DEADBE；⑵当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DEADBE；⑶当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．图③NMEDCBAABCDEMN图②图①NMEDCBAMSDC模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形C级.第01讲.学生版Page12of15【巩固】如图，CD是经过BCA顶点C的一条直线，CACB，E、F分别是直线CD上两点，且BECCFA．（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在直线CD上，请解决下面两个问题：①如图①，若90BCA，90，则BECF；EFBEAF（填“”、“”、“”）；②如图②，若0180BCA，请添加一个关于与BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．（2）如图③，若直线CD经过BCA的外部，BCA，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图③图②图①DFAECBFEDBACFEDCBA【巩固】如图，在等边ABC△中，点DE，分别在边BCAB，上，BDAE，AD与CE交于点F．(1)求证：ADCE；(2)求DFC∠的度数．FEDCBAMSDC模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形C级.第01讲.学生版Page13of15模块五全等三角形与平移平移的基本思路是通过平移，将有关系但又不在一起的量集中起来，且对应边平行且相等【例23】如图所示，在ABC的边BC上取两点D、E，且BDCE．求证：ABACADAE．ABCDE【巩固】如图所示，在ABC中，90B，M为AB上的一点，且AMBC；N为BC上的一点，且CNBM．连接AN、CM交于点P，求证：45APM．PNMCBA【例24】在ABC中，ABAC，CA,AB的延长线上截取E，D，有EDDAECBC．求证：100BAC．EDCBAMSDC模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形C级.第01讲.学生版Page14of151.如图，ABC△中，ABAC，点P、Q分别在AC、AB边上，且APPQQBBC，则A的大小是．QPCBA2.如图所示，一个六边形的六个内角都是120，连续四边的长依次