函数中的任意和存在性问题(整理)

第页共3页1函数中的恒成立、恰成立和能成立问题教学目标：结合具体函数，讨论关于任意与存在性问题的一般解题方法过程与方法通过研究具体函数及其图象，将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系问题：已知函数]1,0[,2)(2xkxkxf，函数]0,1[,5)1(23)(22xxkkxxg，当6k时，对任意]1,0[1x，是否存在]0,1[2x，)()(12xfxg成立.若2k呢？变式1：对任意]1,0[1x，存在]0,1[2x，)()(12xfxg成立，求k的取值范围.()fx的值域是()gx的值域的子集即可.变式2：存在]1,0[1x]0,1[2x，使得)()(12xfxg成立，求k的取值范围.)(xg的值域与)(xf的值域的交集非空.变式3：对任意]1,0[1x，存在]0,1[2x，使得)()(12xfxg成立，求k的取值范围.)()(minminxfxg《小结》：对函数中的存在性与任意性问题:相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数的最值大小.例1：（1）已知22(),[1,),()0xxafxxfxx对任意恒成立，求实数a的取值范围。（2）已知22()xxafxx，对任意[1,)x，()fx的值域是[0，），求实数a的取值范围。分析：本题第（1）问是一个恒成立问题，由于1x，02)(2xaxxxf恒成立，则此问题等价于)1(02)(2xaxxx恒成立，又等价于1x时)(x的最小值0恒成立.由于1)1()(2axx在1x时为增函数，所以3)1()(minax，于是30a，3a.第（2）问是一个恰成立问题，即当1x时，)(xf的值域恰为),0[,与（1）不同的是，（1）是1x时，0)(xf恒成立，因此允许在1x时，)(xf的取值为),2[，),3[，------等等.而)(xf的值域为),0[，则当1x时，)(xf只能取),0[，而不能是其他.第页共3页2xaxxxf2)(22xax，当0a时，由于1x，32)(xaxxf与其值域为),0[矛盾，所以有0a.注意到当0a时，函数xayxy,都是),1[上的增函数，因而)(xf也是),1[上的增函数.于是)(xf在1x时的最小值为)1(f，令0)1(f，即0211a，得3a.小结：1、解恒成立题的基本思路是：若AxfDx)(,在D上恒成立，等价于)(xf在D上的最小值Axf)(min成立，若Bxf)(在D上恒成立，则等价于)(xf在D上的最大值Bxf)(max成立.2、解决恰成立问题的的基本思路是：若AxfDx)(,在D上恰成立，等价于)(xf在D上的最小值Axf)(min，若,DxBxf)(在D上恰成立，则等价于)(xf在D上的最大值Bxf)(max.恰成立问题：若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.例2：函数22fxxxaa（1）定义域为区间[1,2]，求实数a的取值范围.（2）在区间[1,2]上有意义，求实数a的取值范围；分析：（1）由题意知不等式220xxaa的解集为[-1,2]，即220xxaa的解集为[-1,2]，则220xxaa的两根为-1，2则22aa1a或2a（2）由题意知，不等式220xxaa在[-1,2]上恒成立即:]2,1[,22xxxaa恒成立]2,1[,)(max22xxxaa2211()24xxx1x或2x时，2max()2xx22aa1a或2a能成立问题（存在）：若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.练习1.如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______第页共3页3练习2.已知两函数232()816,()254fxxxkgxxxx，k为实数。（Ⅰ）对任意的[3,3]x，有()()fxgx成立，求实数k的取值范围；（Ⅱ）对任意的1[3,3]x，2[3,3]x，有12()()fxgx成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）对任意的2[3,3]x，总存在1[3,3]x，有12()()fxgx成立，求实数k的取值范围。练习3.已知函数2()3,()2fxmxgxxxm（1）求证：函数()()fxgx必有零点（2）设函数()Gx()()1fxgx若|()|Gx在1,0上是减函数，求实数m的取值范围；