复合函数的导数及导数的运算法则

复习:一,基本初等函数的导数公式'n'n-''x'xx'x'a'f(x)=cf(x)=0f(x)=xf(x)=nx(nR)f(x)=sinxf(x)=cosxf(x)=cosxf(x)=-sinxf(x)=af(x)=alnaf(x)=ef(x)=ef(x)=logxf(x)=xlnaf(x)=lnxf(x)=x11.2.3.4.5.6.17.18.若，则若，则若，则若，则若，则若，则若，则若，则()()()()fxgxfxgx()()()()()()fxgxfxgxfxgx“轮流求导之和”复习:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx“上导乘下,下导乘上,差比下方”)(])([:xgcxcg特别地法则1:法则2:法则3:二,导数的运算法则:1.复合函数的概念:对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记作y=f(g(x))新课讲解问题1:指出下列函数的复合关系11)y=sin(x+)x11)y=sinu,u=x+x解:xylne,)322xylnu,uv,ve)322uy,ulogv,vxx)223323新课讲解logxxy())222333.复合而成与由2uy23xu其实，是一个复合函数，2)23(xy问题：的导数？如何求2)23(xy'yxy''2])23[(x'24129xx1218x;xu3uyu2;46x分析三个函数解析式以及导数之间的关系:',,xxuyuyxuxuyyy''①②新课讲解一般地，设函数u＝(x)在点x处有导数u'x＝'(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y'u＝f'(u)，则复合函数y＝f((x))在点x处也有导数，且y'x＝y'u·u'x．或写作f'x((x))＝f'(u)'(x)．复合函数的导数复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘中间变量对自变量的导数．如:求函数y=(3x-2)2的导数,令y=u2,u=3x-2,1218xuyyxux则从而2,3,uxyuu复合函数的导数：注:1)y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.2)法则可以推广到两个以上的中间变量.((()))yfgux''''guxyfgu3)在书写时不要把写成,两者是不完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变量的求导.)(x)]([)]([xfxfx新课讲解新课讲解例1求下列函数的导数．20.0511(23)23sin()()xyxyeyx（）（）（）其中，均为常数注：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，在熟练以后，就不必再写中间步骤。新课讲解例1求下列函数的导数．21(23)yx（）解:2(1),23yuux''2,2而uxyuu'''xuxyyu又'812224xuxyu新课讲解例1求下列函数的导数．0.0512xye（）解:(2),0.051uyeux'''()'(0.051)'uxuxyyuex0.0510.00.055uxee新课讲解例1求下列函数的导数．3sin()()yx（）其中，均为常数解:(3)sin,yuux'''(sin)'()'xuxyyuuxcosos()cux练习:求下列函数的导数342211).(2)12).123).1yxxxyxyxx'2222).(12)12xyxx'3322111).4(2)(61)yxxxxxxyx2'2(12)3).1例2求下列函数的导数．'2(1).2sin(4)3yx2(1).sin(2)3yxsin2(2)(1)(3)(4)ln||xxxxxyeeeyeeyxsinsin(2)2(1)cosxxyeex2224(3)(1)xxeye1(4)yx注：1.复合函数的求导法则,通常称为链条法则,因为它像链条一样，必须一环一环套下去,而不能丢掉其中任何一环,由外到里,层层求导。2.利用复合关系求导前，如果函数关系式可以化简，则先化简再求导会更简单。练习求下列复合函数的导数ysinxx)()11xylne)322)233ylogcosx求下列复合函数的导数解:练习ysinxx)()11''2''''211)sin,1cos,111(1)cos()uxxuxxyuuxxyuuxyyuyxxx而又解:求下列复合函数的导数练习xylne)322xxuvxxuvxxxxxxxyluuvveyuveuvyyuvyeeeee3'''32'''''3232)n,,211,,31123(2)3(2)而又22221(sin)()osln32tanln3yxxcxxx求下列复合函数的导数练习解:)233ylogcosx例3:设f(x)可导,求下列函数的导数:(1)f(x2);(2)f();21x解:);(2)()()1(222xfxxxfy);1(1122)1()2(2222xfxxxxxfy说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.2228811fxRfx=fxxx,yfxfA.yxB.yxC.yxD.yx已知函数在上满足则曲线=在点，处的切线方程为=2-1==3-2=练习-2、+3A课堂小结一般地，设函数u＝(x)在点x处有导数u'x＝'(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y'u＝f'(u)，则复合函数y＝f((x))在点x处也有导数，且y'x＝y'u·u'x．或写作f'x((x))＝f'(u)'(x)．复合函数的导数复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘中间变量对自变量的导数．课后作业基础训练及活页