各类刚体转动惯量公式的推导

1各类刚体的转动惯量的证明1.转轴通过圆环中心与环面垂直的转动惯量2mRJ.在圆环上取一质元，其质量为dldm，dl为圆弧元，为线密度（Rm2）。该质元对中心垂直轴Z的元转动惯量dlRdmRdJ22，圆环对该轴的转动惯量为220322mRRdlRdJJR2.转轴沿圆环直径的转动惯量22mRJ.在圆环上靠近转轴的一处取一质元dm，其弧长为dl，质元与圆心的连线和转轴Z的夹角（微夹角）为d圆环的线密度Rm2，其中dlRd，dmRdRmdldm22.2该质元的转动惯量为dmRdmRdmRdJ2222sin22)sin(dmRmRdmR)2cos44()22cos1(2222则圆环对该转轴的转动惯量为22sin84)2cos44(220202222mRmRmRdmRmRdJJ3.转轴通过薄圆盘中心与圆盘垂直的转动惯量22mRJ.在圆盘上取一半径为r，宽度为dr的细圆环，圆盘的质量面密度为2Rm，该圆环的元面积为rdrdS2，圆环的质量为drrdSdm2.该圆环对转轴的转动惯量为drrdmrdJ322则整个圆盘的转动惯量为221212240403mRRrdrrdJJRR4.转轴沿圆筒几何轴的转动惯量)(222rRmJ.3在圆筒上取一微截圆筒，其质量为dm，再在该微截圆筒上取一宽度为dr，半径为r的元圆筒，记取得的元圆筒质量为dM（由于微截圆筒和元圆筒的厚度非常微小，可将微截圆筒和元圆筒看成质量为dm和dM的圆环）.圆环的面密度)(22rRdm.元圆筒的面积rdrdS2元圆筒的质量rdrdSdM2元圆筒对Z轴的转动惯量为drrrrdrdJRrRr322)2())((21)(21212222444rRrRrRrRrdmrRrRrR2)()()(21222222则整个圆筒的转动惯量为)(2222022rRmdmrRdJJm.5.转轴沿圆柱体几何轴的转动惯量22mRJ.在圆柱体上取一微圆柱体，其质量为dm，由于该微圆柱体厚度极小，可将该微圆柱体看成一圆盘。在圆盘上取一宽度为dr，半径为r的圆环，记该圆环的质量为dM。圆盘的面密度为2Rdm.圆环的面积为rdrdS2，质量rdrdSdM2圆环的转动惯量drrdMrdJ32024圆盘的转动惯量为dmRRrdrrdJdJdJRRR22212240403000则整个圆柱体的转动惯量为22202mRdmRdJJm.6.转轴通过圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量12422mLmrJ.在圆柱体上取一厚度为dy的微圆柱体，再在该微圆柱体上切一宽度为dx的微细长方体，如上图。该微细长方体一端的坐标为),(zx，设该点与圆心的连线同x轴的夹角为，圆柱体的半径为r，则有sin,cosrzrx。圆柱体的密度为Lrm2细微长方体的体积为zdxdydV2，质量为zdxdydVdm2，到转轴Z的距离为22yxRg则细长方体的转动惯量为dVyxdmRgdJ)(2220dxdyyxz)(222则整个细微圆柱体的转动惯量为dxdyyxzdJJdJrr)(22200将sin,cosrzrx代入上式得dxdyyrrdJrr)cos(sin22225)cos()cos(sin2222rdryrdyrr022222)cos(sin2drydyr由二倍角公式得214cos2cos,212coscos,22cos1sin222则dyryrryrydyrdryrydyrdrydyrdrydyrdJ)4(4sin322sin4842)4cos82cos284(2)212cos(22cos12)cos(sin24220222220222222202022222则整个圆柱体的转动惯量为12441243)4(224322243222422mLmrLrLryryrdyryrdJJLLLL7.转轴通过细棒中心与棒垂直的转动惯量122mlJ.在棒上取一质元，质元的长度为dx，距转轴Z的距离为x，设细棒的线密度为，则6lm，该质元的质量为dxdm质元的转动惯量为dxxdmxdJ22则整个细棒的转动惯量为1212123222mlldxxdJJll8.转轴通过细棒端点与棒垂直的转动惯量为32mlJ.在棒上取一质元，质元的长度为dx，距转轴Z的距离为x，设细棒的线密度为，则lm，该质元的质量为dxdm.质元的转动惯量为dxxdmxdJ22则整个细棒的转动惯量为3312302mlldxxdJJl9.转轴通过球体沿直径的转动惯量为522mrJ.7如上图，在离球心距离为z处取一厚度为dz的圆盘，圆盘半径为Rg。在圆盘上取一宽度为dy，半径为y的圆环。设球的密度为，334rm，则圆盘的质量为dzRgdm2，22zrRg，圆盘的面密度为2Rgdm。在圆盘的圆环上取一长度为dl的质元，则质元的质量dydldSdm0质元的转动惯量为dydlydmydJ2020则圆环的转动惯量为ydyydydlyJJ2032002整个圆盘的转动惯量为220303022zrRgdyydyyJdJ2)(222zrdzzrdzzrRgdm)()(22222则2)(22dzzrdJ整个圆球的转动惯量为521582)(2522mrrdzzrJrr10.转轴沿球壳直径的转动惯量322mrJ.8在球壳上取一圆心角为d的圆环，球壳半径为r，则圆环的宽度为rd，设圆环的半径为Rg，圆环上一点与球心O连线同z轴的夹角为，则sinrRg。球的面密度为24rm在圆环上取一长度为dl的质元，则质元的质量为rdlddSdm0质元的转动惯量为rdldRgdmRgdJ2020圆环的转动惯量为drdlrdRgdJdJRg342020sin2则整个球壳的转动惯量为3238coscos312sin2sin224034034034mrrrdrdrJ11.转轴沿底面是正方形的长方体的几何轴的转动惯量62mLJ.长方体底面边长均为L，高为h，在长方体沿转轴z方向取一长为dy，宽为dx，高为h的细长方体，由于该细长方体横截面非常小，因此横截面上任意一处可看成一个坐标为),,(zyx的点。长方体的密度为2hLm细长方体的转动半径为22yxr其质量为hdxdydm09则细长方体的转动惯量为hdxdyyxdmrdJ)(22020整个长方体的转动惯量为66)()()(2422222222222222mLhLdxyxdyhhdxdyyxhdxdyyxJLLLLLLLL12.转轴沿圆盘直径的转动惯量42mrJ.在圆盘上取一宽度为dz长为Rg2的长方形，22zrRg如上图。圆盘的面密度为2rm长方形质量为Rgdzdm2长方形的转动惯量为dzzrdzRgdldzldJRg3)(2322322302则整个圆盘的转动惯量为4sin34sin)cos(34)(34)(32220244022220232202322mrdrdrrrdzzrdzzrJrr