9-杆系结构的有限元法-2

课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华2014/6/10杆件有限元分析19杆件问题有限元分析刚架问题曹国华曹国华9.1平面刚架单元9.2空间刚架单元9.3刚架单元转换矩阵9.4例子课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华2014/6/10杆件有限元分析2上机实验安排共8学时时间：第14（5月26日）、16、17、18周星期一9、10节地点：机电工程学院一层机房课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华1.无轴向变形的平面梁单元1）单元位移模式如图所示的梁单元为一个无轴向变形的等截面直杆，共有两个节点，节点位移包括挠度和转角，节点力包括剪力和弯矩。xyjQiQjMiMjil平面刚架单元2014/6/10杆件有限元分析3课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华单元的节点位移向量表示为Teiijjvv节点力向量表示为TeiijjQMQMF设单元的挠度的位移模式取为v231234()vxxxx将单元上两个节点的坐标和相应的位移代入上式，可得单元的位移模式为()eevxNxyjQiQjMiMjil形函数表示为1234eNNNNN323312232223333224(32)/(2)/(32)/()/llxxllxlxxllxxlxlxlNNNN2014/6/10杆件有限元分析4课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华2）单元应变由材料力学可知，梁在发生弯曲变形而引起梁的轴向变形产生的应变称为梁的弯曲应变，可由下式计算22dvydx将位移代入，可得eeeB式中：——单元应变矩阵，可分块表示为eB1234eBBBBB132233421266412662yBxllyBxlyBxllyBxll2014/6/10杆件有限元分析5课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华3）单元应力梁的弯曲应力的计算公式为22dvEEydx将应变代入上式，可得eeeeeEBS式中：——应力矩阵,可分块表示为eS1234eSSSSS132233421266412662EySxllEySxlEySxllEySxll课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华4）单元刚度矩阵对于等截面梁单元，单元刚度矩阵为2232212612664621261266264eeTeeTeVdVAdxllllllEIlllllllKBDBBDB式中：——截面对主轴的惯性矩。I2014/6/10杆件有限元分析7课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华5）等效节点力如果梁上作用有集中力或集中力偶时，在划分单元时，一般将载荷作用点取为节点，在整体载荷列阵中进行叠加。如果梁上作用有横向分布载荷，则等效节点力可由下式计算()eTepxdxFN将形函数代入上式即可求得等效节点力。几种常见载荷引起的等效节点力如表4.1。2014/6/10杆件有限元分析8课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华外力分布表梁上分布载荷引起的等效节点力iQiMjQjM ijp12pl2112pl12pl2112pl ijp320pl2130pl720pl2120pl ijp14pl2596pl14pl2596plijpab23(2)pblal22pabl23(2)palbl22pablijmab36abml36abml23balml23ablml2014/6/10杆件有限元分析9课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华2.有轴向变形的平面刚架单元1）单元位移模式取节点为i和j之间的杆件为梁单元，在节点i和j上所受到的节点力为轴力、剪力和弯矩，即节点力向量为与之相对应的节点位移向量为TeiiijjjNQMNQMFTeiiijjjuvuv xyjQiQjMiMjiliNjN2014/6/10杆件有限元分析10课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华轴向位移位移模式可取的线性函数，而挠度则可用的三次多项式来表示，即uxvx01230123uaaxvbbxbxbx令23010123()1()1TTxxxxxxaabbbbhHab代入节点坐标，得12uAavAb1101lA22321000010010123lllllA式中：2014/6/10杆件有限元分析11课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华则可求得位移模式中的全部参数和。于是，梁单元的位移模式便可用节点位移来表示，其矩阵形式为ab1112()()eeueevuxvxhANHAN式中：，。11()uxNhA12()vxNHA若将梁单元的节点位移记为，其中节点i和j的位移记为TeTTijTiiiiuvTjjjjuv则()()ueeeevxuxvHuANH2014/6/10杆件有限元分析12课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华23()10000()010uvxxxxxxHH式中223232100000010000001000110000323100213100llllllllllA()()ueeeevxuxvHuANH2014/6/10杆件有限元分析13课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华则形函数表示为2322323223232323232232100000010000001000111000000000103231002131001000032232010exllxxxllllllllxxllxxxxxxxxxllllllllN2014/6/10杆件有限元分析14课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华2）单元应变和应力梁单元受到拉压和弯曲变形后，其线应变可分为两部分：拉压应变、弯曲应变。剪切应变对梁挠度的影响是微小的，可以忽略不计，则0b022()()iueeebviduxdxyxdvydxHABH式中()000100()000026uvxxxHH则应力表示为0eebDD00EED式中2014/6/10杆件有限元分析15课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华3）单元的刚度矩阵。由虚功原理得单元刚度矩阵为KBDBeeTeVdV3232322120640001261200626400EAlEIlEIEIllEAEAllEIEIEIlllEIEIEIEIllll对称2014/6/10杆件有限元分析16课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华当梁截面的高度大于梁长度的1/5时，剪切应变对挠度的影响就必须予以考虑，尤其是在薄壁截面的情形，剪切对挠度的影响将是巨大的。考虑剪切影响时，只需对梁单元的刚度矩阵作如下修正。=eK3232322120(1)6(4)0(1)(1)001261200(1)(1)(1)6(2)6(4)00(1)(1)(1)(1)EAlEIlEIEIllEAEAllEIEIEIlllEIEIEIEIllll对称212/sEIGAl2014/6/10杆件有限元分析17课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华一般情况下，空间梁单元的每个节点的位移具有六个自由度，对应于六个节点力，如图所示。 iNziQyiQzyxziMijyiMxiMyjQyjMjNxjMzjQzjM空间刚架单元2014/6/10杆件有限元分析18课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华单元节点位移为，其中两节点的位移分别为=TeΤΤijTiiiixiyiziTjjjjxjyjzjuvwuvw单元节点力为，其中两节点力分别为=TeΤΤijFFFTiiyizixiyiziTjjyjzjxjyjzjNQQMMMNQQMMMFF式中：、——作用于节点i和j的轴向力；、、、——和方向的剪力；、——扭矩；、、、——绕和轴的弯矩。iNjNyiQziQyjQzjQyzxiMxjMyiMziMyjMzjMyz2014/6/10杆件有限元分析19课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华由虚功原理得空间梁单元的单元刚度矩阵如下eK332232332120(1)1200(1)0006(4)000(1)(1)(4)60000(1)(1)000001261200000(1)(1)(1)12612000000(1)(1)EAlEIzlyEIylzGJklEIEIyzylzlzEIEIyzzlylyEAEAllEIEIEIzzzlllyyyEIEIEIyyllzz对称32222(1)000000006(2)6(4)0000000(1)(1)(1)(1)(2)(4)6600000000(1)(1)(1)(1)ylzGJGJkkllEIEIEIEIyzyyzyllzzllzzEIEIEIEIyzyzzzllyyllyy2014/6/10杆件有限元分析20课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华至于刚架单元式（4.26）的关系仍然成立，对于平面刚架单元的转换矩阵如下eTcos-sin0000sincos0000001000000cos-sin0000sincos0000001eT=对于空间刚架单元的转换矩阵如下eT000000000000e=ttTtt123123123=lllmmmnnnt2014/6/10杆件有限元分析21课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华平面刚架结构如图所示，已知截面面积为0.5m2，惯性矩为1/24m4，弹性模量为30GPa，单元①的总体编码为2、1；单元②的总体编码为2、3，求刚架结构的节点位移。2.5m2.5m1238kN6kN10kN.m10kN12kN/m5m①②xy算例2014/6/10杆件有限元分析22课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华解：（1）单元刚度首先由式（4.55）计算单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵，然后由式（4.60）计算相应的转换矩阵，由题意可知，单元①对应的，单元②对应的，最后由（4.26）计算单元在整体坐标系下的刚度矩阵，如下09000141203012030030000300030010030050101203012030030000300030050300100K2014/6/10杆件有限元分析23课件仅供复习或学习用，请勿它用曹国华243000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030100K2.5m2.5m1238kN6kN10kN.m10kN12kN/m5m①②xy141203012030030000