2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题

-1-A1B1C1D1ABCDE●2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）1．命题：“0x，02xx”的否定形式是（）A0x，20xxB0x，02xxC0x，02xxD0x，02xx2．抛物线:C24xy的焦点坐标为（）A)1,0(B)0,1(C)161,0(D)0,161(3．若向量)1,0,1(a，向量),0,2(kb，且满足向量a//b，则k等于（）A1B1C2D24．“21m”是“方程13122mymx表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5．经过点(2,2)P，且与双曲线:C2212xy有相同渐近线的双曲线方程是（）A12422yxB14222xyC14222yxD12422xy6．如图所示，在平行六面体1111ABCDABCD中，点E为上底面对角线11AC的中点，若ADyxABAABE1，则（）A21,21yxB21,21yxC21,21yxD21,21yx7．ABC中,)0,5(),0,5(BA，点C在双曲线191622yx上，则CBAsinsinsin=（）A53B53C54D548．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，M是棱CD的中点，则MA1A1B1C1D1ABCDM-2-与1DC所成角的余弦值为（）A62B62C1010D10109．已知抛物线:C)0(22ppxy的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PM垂直l于M，若060PFM,则PFM的面积为（）A2pB23pC22pD232p10．如果命题“若yx，zy//，则zx”是假命题．．．，那么字母zyx,,在空间所表示的几何图形可能是()Azyx,,全是直线Bzyx,,全是平面Czx,是直线，y是平面Dyx,是平面，z是直线11．已知椭圆22221(0)xyabab与双曲线22221(0,0)xymnmn有共同的焦点)0,(c和)0)(0,(cc，且满足c是a与m的等比中项，2n是22m与2c的等差中项，则椭圆的离心率为()A33B22C41D2112．在平面直角坐标系中，一条双曲线经过旋转或平移所产生的一系列双曲线都具有相同的离心率和焦距，称它们为一组“共性双曲线”；例如将等轴双曲线222yx绕原点逆时针转动045，就会得到它的一条“共性双曲线”xy1；根据以上材料可推理得出双曲线113xxy的焦距为（）A4B24C8D28二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）13．命题“若090C，则ABC是直角三角形”的否命题的真假性为14．若“ax”是“0322xx”的充分不必要条件，则a的取值范围为15．已知ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，其中)2,,1(mBA,),,2(nmBC（Rnm,）,则nm-3-16．在平面直角坐标系中，已知),0,(),0,(aNaM其中Ra,若直线l上有且只有一点P，使得10PNPM，则称直线l为“黄金直线”，点P为“黄金点”。由此定义可判断以下说法中正确的是○1当7a时，坐标平面内不存在黄金直线；○2当5a时，坐标平面内有无数条黄金直线；○3当3a时，黄金点的轨迹是个椭圆；○4当0a时，坐标平面内有且只有一条黄金直线；三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．命题p：axxx1,0；命题q：012,0200axxRx。若q为假命题，qp为假命题，则求a的取值范围。18．已知双曲线C：)0,0(12222babyax的焦距为4，且经过点62,3。(Ⅰ)求双曲线C的方程和其渐近线方程；(Ⅱ)若直线2:kxyl与双曲线C有且只有一个公共点,求所有满足条件的k的取值。19．如图所示，直三棱柱111CBAABC中，D是线段AB的中点，11CCCBCA，090ACB。(Ⅰ)证明：//1BC面CDA1；(Ⅱ)求面CDA1与面CACA11所成的锐二面角的余弦值。20.已知抛物线:C)0(22ppxy过点)2,1(M。(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程；(Ⅱ)过抛物线焦点F的直线l与抛物线C相交于两点、),(11yxA),(22yxB，点D在抛物线C的准线上，且满足直线BD平行x轴，试判断坐标原点O与直线AD的关系，并证明你的结论。21.已知椭圆12222byax(0ba)的离心率为23，且右焦点)0)(0,(cc到直线3x的距离为3。A1B1C1ABCD●D-4-(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点)1,2(A，过原点且斜率为)0(kk的直线l与椭圆交于两点、),(11yxP),(22yxQ，求APQ面积的最大值。22．如图（1），ABD为等边三角形，BCD是以C为直角顶点的等腰直角三角形且2CD，E为线段CD中点，将ABD沿BD折起（如图2），使得线段AC的长度等于2，对于图二，完成以下各小题：(Ⅰ)证明：AC平面BCD；(Ⅱ)求直线AE与平面ABD所成角的正弦值；（III）线段AB上是否存在点P，使得平面CPE与平面ABD垂直？若存在，请求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由。（图1）（图2）●ABCEDABCD●E-5-2014---2015学年度第一学期期末联考高中二年数学（理）科答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.假14.1a15.-116.①②③三、解答题（本大题共6小题，17-21每小题12分，22题14分，共74分）17.解：不妨设p为真，要使得不等式恒成立只需min)1(xxa,又∵当0x时，2)1(xx)1(时取当且仅当x∴2a……………………………4分不妨设q为真，要使得不等式有解只需0，即04)2(2a解得11aa或………………………………………………………………………………8分∵q假，且“pq”为假命题,故q真p假………………………………………………10分所以112aaa或∴实数a的取值范围为2a……………………………………………12分18.解：(1)由题意可知：双曲线的焦点为（-2,0）和（2,0）根据定义有2)062()23()062()23(22222a∴1a，由以上可知：3,4,1222bca．∴所求双曲线C的方程为：1322yx．…4分渐近线方程为：xy3…………………………………………………………………………6分(2)由,131222yxkxy得：074)xk-(322kx.………………………………………………7分①当0k-32即3k时，此时直线l与双曲线相交有一个公共点，符合题意……………8123456789101112CCDCBADABDDC-6-分②当0k-32即3k时，由△=0得7k，此时直线l与双曲线相切有一个公共点，符合题意………………………………………………11分综上所述：符合题意的k的所有取值为7,7,3,3。……………………………………12分19.解：（法一）(1)连结MACCA于交11，连结DM又D,M分别是AB,AC1的中点，故DM为△ABC1的中位线∴DM//1BC又∵CDABCCDADM111,面面∴CDABC11//平面……………4分（2）如图，建立空间直角坐标系C-xyz.……………………………………5分∴)0,21,21(),1,0,1(),0,0,0(1DAC∴)1,0,1(1CA，)0,21,21(CD设平面A1CD的一个法向量为),,(zyxm，则001CDmCAm021210yxzx，取1x，得)1,1,1(m．……………………………8分依题意可知平面A1CA的法向量：)0,1,0(CBn………………………………………………10分则33311|||,cosnmnmnm∴面CDA1与面CACA11所成的锐二面角的余弦值为33……………………………………12分（法二）(1)如图，建立空间直角坐标系C-xyz.………………………………………………1分∴)1,0,0(),0,1,0(),0,21,21(),1,0,1(),0,0,0(11CBDACA1B1C1ABCD●●MA1B1C1ABCD●●yxz-7-∴)1,0,1(1CA，)0,21,21(CD,)1,1,0(1BC设平面A1CD的一个法向量为),,(zyxm，则001CDmCAm021210yxzx，取1x，得)1,1,1(m．……………………………4分∴0)1(1)1()1(101mBC∴mBC1又∵CDABC11面∴CDABC11//平面…………………………………………………8分（2）依题意可知平面A1CA的一个法向量：)0,1,0(CBn…………………………10分则33311|||,cosnmnmnm∴面CDA1与面CACA11所成的锐二面角的余弦值为33……………………………………12分（说明：由于平面的法向量不唯一，所以解答过程．．不唯一）20.解:（1）将M(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，所以p=2.故所求的抛物线C的方程为：xy42…………………………………………………………3分其准线方程为x=-1.…………………………………………………………………………………4分（2）判断坐标原点O在直线AD上，……………………………………………………………5分现证明如下：依题意可设过F的直线l方程为：x=my+1（mR），设),(,),(2211yxByxA,),1(2yD由,4,12xymyx得：044my-y2依题意可知恒成立0，且421yy………………………………………………………9分-8-又∵1211122111221112112114)4(44)4(1xyyyxyyyxyyyxyxyyxykkODOA又∵421yy，∴0ODOAkk即证坐标原点O在直线AD上……………………………………………………………………12分（说明：直线l方程也可设为：y=k（x-1），但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分）21.解：(1)依题意可知33c,∴)(032舍去或cc……………………………2分又∵离心率为23，∴4a，故4222cab因此椭圆的方程为：141622yx……4分（2）将直线l方程：y=kx与椭圆方程联立消y得016)x4k(122，所以224116xk…………………………………………………………………………………6分∴222124116211kkxxkPQ…………………………………………8分又∵点A到直线l的距离d=2112kk……………………………………………………………9分故APQ的面积=2224114444112421kkkkkdPQkkkk41414414142当k0时,)21(414时取当且仅当kkk，故当时21k，APQ的面积有最大值24…………………………………………………12分22.解：（1）∵22,2ADBDABCBCD又∵,2AC∴2228ABCBAC∴CBACPA