数学选修2-1第二章检测试题(卷)

第二章检测试题(时间:90分钟满分:120分)【选题明细表】知识点、方法题号易中难曲线与方程12、14、17椭圆的定义、方程和性质5、6双曲线的定义、方程和性质2、811抛物线的定义、方程和性质3、4、7直线与圆锥曲线1013圆锥曲线的综合问题19、15、1618一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.(2013长春外国语学校高二检测)下列曲线中,离心率为2的是(A)(A)x2-22y=1(B)x2+25y=1(C)x2+23y=1(D)x2-25y=1解析:由离心率的定义知x2-23y=1的离心率e=2.2.(2011年高考安徽卷)双曲线2x2-y2=8的实轴长是(C)(A)2(B)2(C)4(D)4解析:2x2-y2=8可变形为24x-28y=1,则a2=4,a=2,2a=4.故选C.3.(2012湖北荆州高二上学期期末考试)若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P是抛物线上的一动点,则|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为(C)(A)(0,0)(B)(1,1)(C)(2,2)(D)（12,1）解析:如图所示设|PF|=d,故|PA|+|PF|=|PA|+d,当点P到P'位置时,|PA|+|PF|取得最小值,此时点P的纵坐标为2,将其代入抛物线方程,得横坐标为2,故点P坐标为(2,2).故选C.4.(2013长春外国语学校高二检测)已知P是抛物线y2=4x上一动点,F是抛物线的焦点,定点A(4,1),则|PA|+|PF|的最小值为(A)(A)5(B)2(C)(D)解析:由于点A在抛物线y2=4x内部,由抛物线的定义知|PF|=d(d为P点到准线x=-1的距离),如图可知|PA|+|PF|的最小值为A点到准线x=-1的距离,即4-(-1)=5.5.(2013河南衡阳高二检测)若椭圆29x+27y=1(ab0)的离心率为,则双曲线-=1的离心率为(B)(A)54(B)52(C)32(D)54解析:由椭圆的离心率定义知22aba=32,∴a2=4b2,∴a=2b,又由双曲线的离心率定义知e=22aba=224bba=52bb=52.故选B.6.F1、F2是椭圆29x+27y=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为(B)(A)7(B)72(C)74(D)752解析:由于c2=9-7=2,∴c=,∴|F1F2|=2c=2,又|AF1|+|AF2|=6,∴|AF2|=6-|AF1|,在△AF1F2中,|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos45°=|AF1|2-4|AF1|+8,即(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8,∴|AF1|=,∴=12××2×22=72,故选B.7.(2013山东德州高二检测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),若x1+x2=6,那么|AB|等于(B)(A)10(B)8(C)6(D)4解析:由抛物线的定义知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8,故选B.8.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为(C)(A)212x-24y=1(B)24y-212x=1(C)24x-212y=1(D)212y-24x=1解析:圆C:(x-3)2+(y-2)2=5与x轴的交点为(2,0),(4,0),与y轴无交点,所以所求双曲线的一个焦点为(4,0),右顶点为(2,0),即a=2,c=4,∴b2=c2-a2=12,因此双曲线方程为24x-212y=1.故选C.9.(2012南安高二期末考试)已知双曲线x2-23y=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为(C)(A)1(B)0(C)-2(D)-8116解析:设点P(x0,y0),则-203y=1,由题意得A1(-1,0),F2(2,0),则·=(-1-x0,-y0)·(-2-x0,-y0)=-x0-2+,由双曲线方程得=3(-1),故·=4-x0-5(x0≥1),可得当x0=1时,·有最小值-2.故选C.10.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A、B两点,过A、B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P、Q,则梯形APQB的面积为(A)(A)48(B)56(C)64(D)72解析:由于抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,联立234yxyx得A(1,-2),B(9,6),∴|AP|=2,|BQ|=10,|PQ|=8,因此S梯形APQB=21082=48,故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.(2012年高考天津卷)已知双曲线C1:2xa-22yb=1(a0,b0)与双曲线C2:24x-216y=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a=,b=.解析:双曲线24x-216y=1的渐近线为y=±2x,而2xa-22yb=1的渐近线为y=±x,所以有ba=2,b=2a,又双曲线2xa-22yb=1的右焦点为(,0),所以c=,又c2=a2+b2,即5=a2+4a2=5a2,所以a2=1,a=1,b=2.答案:1212.(2011年高考新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为22.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为.解析:由题意得△ABF2的周长为4a=16,解得a=4,由离心率e=ca=4c=22,解得c=2,故b2=16-(2)2=8,所以C的方程为216x+28y=1.答案:216x+28y=113.(2012陕西师大附中高二上学期期末试题)过抛物线y2=2px(p0)的焦点作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(3,2),则p的值为.解析:抛物线的焦点坐标为（2p,0）,又直线倾斜角为45°,故直线方程为y=x-2p,联立2,22,pxyypx可得y2-2py-p2=0,因为AB的中点为(3,2),设A(x1,y1),B(x2,y2)故y1+y2=2p=4,解得p=2.答案:214.以下四个关于圆锥曲线的命题:①在直角坐标平面内,到点(-1,2)和到直线2x+3y-4=0距离相等的点的轨迹是抛物线;②设F1、F2为两个定点,k为非零常数,若||-||=k,则P点的轨迹为双曲线;③方程4x2-8x+3=0的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率;④过单位圆O上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若=12(+),则动点P的轨迹为椭圆.其中真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)解析:①中定点(-1,2)在直线2x+3y-4=0上,适合条件的轨迹为直线,而不是抛物线,①错;②中,当|k|=|F1F2|时,P点轨迹为射线,当|k||F1F2|时,无轨迹,所以②错;③中方程两根分别为和,可以分别作为椭圆和双曲线的离心率,故③正确;④中,适合条件的轨迹是一个圆,而非椭圆.综上可知,真命题只有③.答案:③三、解答题(本大题共4小题,共50分)15.(本小题满分12分)(2013山东潍坊高二检测)抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线22xa-22yb=1的一个焦点,并且这条准线垂直于x轴,又抛物线与双曲线交于点P（32,）,求抛物线和双曲线的方程.解:∵交点在第一象限,抛物线的顶点在原点,其准线垂直于x轴,∴可设抛物线方程为y2=2px(p0).∵点P（32,）在抛物线上,∴()2=2p×32,p=2,∴y2=4x.∵y2=4x的准线方程为x=-1,且过双曲线的焦点,∴-c=-1,c=1,即有a2+b2=1,①又∵点P（32,）在双曲线上,∴294a-26b=1.②联立①②,解得a2=14,b2=34,∴双曲线方程为4x2-43y2=1.故所求的抛物线与双曲线方程分别为y2=4x和4x2-43y2=1.16.(本小题满分12分)(2012山东临沂市高二上学期期末考试)已知△ABC的顶点A,B在椭圆x2+3y2=4上,C在直线l:y=x+2上,且AB∥l.(1)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;(2)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB边所在直线的方程.解:(1)∵AB∥l,且AB边通过点(0,0),∴直线AB的方程为y=x.设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由2234,,xyyx得x=±1.∴|AB|=|x1-x2|=2.又AB边上的高h等于原点到直线l的距离,∴h=,S△ABC=12|AB|×h=2.(2)设AB边所在直线的方程为y=x+m,由2234xyyxm,得4x2+6mx+3m2-4=0.因为A,B在椭圆上,所以Δ=-12m2+640,则x1+x2=-32m,x1x2=2344m,所以|AB|=|x1-x2|=23262m.又因为BC的长等于点(0,m)到直线l的距离,即|BC|=22m.所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11.所以当m=-1时,AC边最长,(这时Δ=-12+640)此时AB边所在直线的方程为y=x-1.17.(本小题满分12分)(2013赣州高二检测)已知圆C1的方程为(x-2)2+(y-1)2=203,椭圆C2的方程为22xa+22yb=1(ab0),C2的离心率为22,如果C1与C2相交于A、B两点,且线段AB恰为圆C1的直径,试求:(1)直线AB的方程;(2)椭圆C2的方程.解:(1)由e=22,得ca=22,a2=2c2,b2=c2.设椭圆方程为222xb+22yb=1.又设A(x1,y1),B(x2,y2),由圆心为(2,1),得x1+x2=4,y1+y2=2.又2122xb+212yb=1,2222xb+222yb=1,两式相减,得221222xxb+22122yyb=0.∴1212yyxx=-12122xxyy=-1,∴直线AB的方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3.(2)将y=-x+3代入222xb+22yb=1,得3x2-12x+18-2b2=0,又直线AB与椭圆C2相交,∴Δ=24b2-720.∴x1+x2=4,x1x2=6-23b2,由|AB|=|x1-x2|=2121224xxxx=·2216463b=·2883b解得b2=8,故所求椭圆方程为216x+28y=1.18.(本小题满分14分)已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(-,0),上顶点为D(0,1),设点A（1,12）.(1)求该椭圆的标准方程;(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;(3)过原点O的直线交椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值.解:(1)由已知得椭圆的短半轴b=1,半焦距c=,则长半轴a=2.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为24x+y2=1.(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),由001,2122xxyy得0021,12.2xxyy由点P在椭圆上,得2214x+（2y-12）2=1,∴线段PA中点M的轨迹方程是（x-12）2+4（y-14）2=1.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,代入24x+y2=1,解得B（2241k,2241kk）,C（-2241k,-2241kk）,则|BC|=24114kk,又点A到直线BC的距离d=2121kk,∴△ABC的面积S△ABC=|BC|·d=22114kk.于是S△ABC=2244141kkk=24141kk,由2441kk=114kk≤1,得24