空间角的几何求法

高三周末精辅空间角的几何求法一、异面直线所成角（线线角）范围：(0,]2先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。【典例分析】例1.已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点.（1）求证：AF⊥平面CDE；（2）求异面直线AC，BE所成角余弦值；【变式】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。二、直线与平面所成角（线面角）范围：[0,]2【典例分析】例1.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【变式】如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA//PB，PB=AB=2MA，（1）证明：AC//平面PMD；（2）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；1111ABCDABCD1ABBC13AA1AD1DB高三周末精辅例2.如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。【变式】如图，在三棱锥VABC中，VCABC⊥底面，ACBC⊥，D是AB的中点，且ACBCa，π02VDC∠．（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；（2）试确定角的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为π6．ＶAＣＤＢ高三周末精辅三、平面与平面所成角（面面角）范围：[0,]（1）定义法：当点A在二面角α--β的棱上时，可过A分别在α、β内作棱的垂线，AB、AC，由定义可知∠BAC即为二面角α--β的平面角。（2）三垂线法：当点A在二面角α--β的一个面α内时，可作AO⊥β于O，再作OB⊥于B，连结AB，由三垂线定理可得AB⊥，故∠ABO即为二面角α--β的平面角。（3）垂面法：当点A在二面角α--β内时，可作AB⊥α于B，AC⊥β于C，设1过AB、AC的平面与交于点O，连结OB、OC，可证平面，ABOC是的垂面，则⊥OB，⊥OC，∠BOC即为二面角α--β的平面角。（4）射影面积法：原射影ScosS【典例分析】例1.如图，AB平面BCD，BDCD，若2ABBCBD，求二面角BACD的正弦值例2.把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．（1）求证：面ABP⊥面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值．奎屯王新敞新疆labc高三周末精辅DCBAE例3.在正三棱柱111ABCABC中，1EBB，截面1AEC侧面1AC．(1)求证：1BEEB；(2)若111AAAB，求平面1AEC与平面111ABC所成二面角(锐角)的度数．【变式】1.E是正方形ABCD的AB边中点，将△ADE与△BCE沿DE、CE向上折起，使得A、B重合为点P，那么二面角D—PE—C的大小为.2.在正四面体ABCD中，求相邻两个平面所成的二面角的余弦值3.已知：二面角l且,AA到平面的距离为23，A到l的距离为4，求二面角l的大小奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆lBOA高三周末精辅例3.已知斜三棱柱111ABCABC，90BCA，2ACBC，1A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知11BAAC。（1）求证：1AC平面1ABC；（2）求1CC到平面1AAB的距离；（3）求二面角1AABC的大小。【变式】如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.（1）求证：A1C//平面AB1D；（2）求二面角B—AB1—D的大小；（3）求点C到平面AB1D的距离.高三周末精辅【巩固练习】1.已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则[K]A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ12.已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．3.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．SSASB78SASAB△515高三周末精辅4.如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形.（1）证明：CD⊥平面PBD；（2）求二面角C-PB-D的平面角的余弦值.5.如图，四边形ABCD为正方形，,EF分别为,ADBC的中点，以DF为折痕把DFC△折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.（1）证明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.6.如图，在三棱柱ABC−111ABC中，1CC平面ABC，D，E，F，G分别为1AA，AC，11AC，1BB的中点，AB=BC=5，AC=1AA=2．（1）求证：AC⊥平面BEF;（2）求二面角B−CD−C1的余弦值；高三周末精辅7.如图，在直三棱柱111ABCABC中，平面1ABC侧面11AABB，且12AAAB.(1)求证：ABBC；(2)若22AC，求锐二面角1AACB的大小.8.如图，在四棱锥中，平面平面；，，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正切值.9.如图，四棱锥中，地面，，，，M为线段上一点，，为的中点．（1）证明平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是060DAB且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；BCDEAABCBCDE90CDEBED2ABCD1DEBE2ACACBCDEAEABCPABCPAABCDADBC3ABADAC4PABCAD2AMMDNPCMNPABANPMN高三周末精辅（2）求证：ADPB；（3）求二面角ABCP的大小．11.如图，四棱锥PABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是60ADC的菱形，M为PB的中点.(1)求PA与底面ABCD所成角的大小；(2)求证：PA平面CDM；(3)求二面角DMCB的余弦值.12.如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE平面ABC,=90ACB,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证：EF⊥平面ACFD；(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.13.如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，PABC22ABBC4PAPBPCACOACPOABCMBCMPAC30PAOCBM高三周末精辅求与平面所成角的正弦值．14.如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．15.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：//EF平面PAD；（2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时，直线EF平面PCD？16.如图，在长方体1111ABCDABCD中，11,2,ADAAAB点E在线段AB上.PCPAMABCDCDMCDCDAMD⊥BMCMABCMABMCD高三周末精辅（1）求异面直线1DE与1AD所成的角；（2）若二面角1DECD的大小为45，求点B到平面1DEC的距离.17.如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为a，P为A1B上的点。（1）试确定PBPA1的值，使得PC⊥AB；（2）若321PBPA，求二面角P—AB—C的大小；（3）在（2）条件下，求C1到平面PAC的距离。高三周末精辅