平面向量知识点总结与训练

第二章平面向量知识点归纳新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆一.向量的基本概念与基本运算1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量一般用cba,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆几何表示法AB，a；坐标表示法),(yxyjxia奎屯王新敞新疆向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆即向量的大小，记作｜a｜奎屯王新敞新疆向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆零向量a＝0｜a｜＝0奎屯王新敞新疆由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量0a为单位向量｜0a｜＝1奎屯王新敞新疆④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆任意一组平行向量都可以移到同一直线上新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆方向相同或相反的向量，称为平行向量奎屯王新敞新疆记作a∥b奎屯王新敞新疆由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量奎屯王新敞新疆数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆相等向量经过平移后总可以重合，记为ba新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆设,ABaBCb，则a+b=ABBC=AC新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）aaa00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”．3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆记作a,零向量的相反向量仍是零向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆关于相反向量有：（i）)(a=a；(ii)a+(a)=(a)+a=0；(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：)(baba新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆求两个向量差的运算，叫做向量的减法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆③作图法：ba可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆4新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆实数与向量的积：①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）aa；（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向是任意的新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆②数乘向量满足交换律、结合律与分配律新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆5新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆6新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆平面向量的基本定理：如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea，其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆7新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教