项目三-单相交流电路的分析与检测资料

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单相交流电路的分析与检测项目三项目三单相交流电路的分析与检测学习任务1)了解正弦交流电路的基本概念、基本定律。2)理解领会正弦交流电路的基本概念、基本定律。3)掌握正弦交流电路的相量分析法及其电压与电流的分析计算、功率的计算。11.1正弦交流电的三要素任务11单一参数交流电路在正弦交流电作用下的电路称为正弦交流电路。大小和方向都随时间按正弦规律做周期性变化的电流、电压和电动势,统称为正弦交流电,简称交流电。交流电的瞬时值由以下三个要素组成。1.周期、频率、角频率1)正弦交流电变化一个循环所需要的时间称为周期,用T表示,单位是秒(s)。2)频率是单位时间内完成正弦交流电变化的次数,用f表示,单位是赫兹(Hz)。3)角频率是单位时间内完成正弦交流电变化的电角度,用表示,单位是弧度/秒()。rads2.瞬时值、最大值、有效值1fT(11-1)22fT(11-2)1)正弦交流电在某一时刻的大小称为该时刻的瞬时值,规定用小写字母表示,例如u、i、e分别表示正弦交流电压、电流、电动势的瞬时值。2)一个周期中所出现的最大瞬时值称为最大值(幅值)。对给定的正弦交流电来说,其最大值是一个与时间无关的定值,用带下标m的大写字母表示,例如Im、Um、Em分别表示电流、电压、电动势的最大值。3)为确切地反映交流电能量转换的实际效果,工程上常采用有效值来衡量交流电的大小。交流电的有效值用大写字母来表示,如用I、U、E分别表示电流、电压和电动势的有效值。220dTRitRIT有效值的定义:设一个交流电流i和一个直流电流I分别通过相同电阻R,如果在相同时间T(交流电流的周期)内,它们产生了相同的热量,则这个交流电流的有效值就等于直流电流I。由此可以得到正弦电流的有效值201TIidtT(11-3)222011sin22TmmmITIItdtITTsinmiIt当周期性电流为正弦量时,即,则(11-4)2012TmUUudtT2012TmEEedtT同理可有(11-5)(11-6)2结论:正弦交流电的电流、电压、电动势的最大值分别是其有效值的倍。【例11.1】已知一正弦交流电压u=311sinωt,f=50Hz,试求该正弦交流电压的有效值和t=0.1s时的瞬时值。mm311:V220V222311sin(2500.1)V0VUUuUsinft解3.相位、初相、相位差设正弦交流电流的一般表达式为m()iiIsinωtψ式中,随时间变化的角度(),称为相位角,简称相位。时刻的相位叫做初相位,简称初相。t0t图11-2同频率正弦交流电的相位关系3),说明电压和电流同相位。0ui4),说明电压和电流反相。(180)ui或图11-1u与i的初相图中正弦电压u和正弦电流i的波形图可用下式表示sin()sin()mumiuUtiIt两正弦量间的相位之差称为相位差()()uiuitt(11-7)2),说明电压滞后电流角,也称电流超前电压角。0ui1),说明电压超前电流角,也称电流滞后电压角。0ui图11-1中的u和i的相位关系是:电压超前电流角,也称电流滞后电压角。正弦交流电用瞬时值表达式、波形图来表示,能完整、准确地表达出正弦交流电的变化规律。虽然以上两种表达方式都是分析计算正弦交流电路的有效工具,但在分析正弦交流电路时,特别是计算、分析同频率正弦交流电时用瞬时值表达式计算非常繁琐,而用波形图计算既复杂又不准确。因此,引入相量表示法,这将使得电路的分析和计算变得较为简便。11.2正弦交流电的相量表示法正弦交流电可用旋转矢量表示。1.相量表示法下面以为例,作其旋转矢量如图11-3所示。其中图11-3(a)是该电流对应的旋转矢量,图11-3(b)是波形图。sin()muuUt图11-3正弦交流电的旋转矢量图2同一交流电路中,因各个交流量的频率相同,相位差总是保持不变,所以,在作最大值相量图中的相量可不必旋转,只画起始矢量,而且不必建立直角坐标系,可取一相量作为参考相量。另外,交流电路中通常只计算有效值,而不计算瞬时值。所以通常只画有效值相量,最大值相量与有效值相量的关系是:二者方向相同,但最大值相量是有效值相量长度的倍。2回顾复数设一个直角坐标系的横轴表示复数的实部,称为实轴,以+1位单位;纵轴表示虚部,称为虚轴,以+j为单位(为避免与电流i的表达相混淆,电工学中用j代替复数中的i)。实轴与虚轴构成的平面称为复平面。假设复平面中有一个有向线段A,其实部为a,虚部为b,如图11-4所示。图11-4复平面及有向线段cossin(cossin)Aajbrjrrj(11-8)cos2sin2jjjjeeeejjArer由欧拉公式式11-8可以写成(11-9)111222jjAabAab复数的加减运算一般用代数式进行,乘除运算一般用指数式或极坐标式进行。1122ArBr设则有121212AAaajbb(11-10)设则有11221212ABrrrr(11-11)11112222rrABrr(11-12)1502sin(100)A6it11002sin(100)V3ut221002sin(100)V3ut【例11.2】写出下列三个正弦交流电的相量式,并做其相量图。解:由已知条件可得j61j312j3250A50eA50cosjsinA(253j25)A66100V100eV100cosjsinV(50j503)V33100V100eV22100cosjsinV(50j503)V33IUU图11-5例11.2相量图因i1、u1、u2和是同频率的正弦交流电,所以可选择同一个参考相量,相量图如图11-5所示。若采用相量图合成相量,其步骤如下:1)选择任一相量为参考相量,在同一复平面上画出两个正弦量的相量图。2)再利用平行四边形法则作出两相量的和相量。3)分析得和相量的长度、和相量与参考相量的夹角。4)然后直接写出和相量所对应的正弦量的解析式。2.同频率正弦量相加减【例11.3】已知u1=100 sin(314t+45°)V,u2=100 sin(314t+135°)V,试求u=u1+u2。图11-6例11.3相量图22解:利用平行四边形法则作出和相量,如图11-6所示。由相量图可得 所以222212100100V1002VUUU12454590100210022sin(31490)V200sin(31490)VφUuuutt即所以11.3单一参数的交流电路1.纯电阻电路图11-7a所示为线性电阻R电路,由欧姆定律得uiR2sin()iiIt设流经电阻R的电流为(11-13)(11-14)2sin()2sin()uiuIRtUt若采用相量式直接计算两个同频率正弦量相加减,则其计算步骤如下:1)先由已知的正弦量瞬时值表达式写出各自对应的相量极坐标式。2)把两个相量分别转换成代数式进行加减,得到两个正弦量的和相量。3)再将计算结果的代数式转换成极坐标式。4)然后直接写出和相量所对应的正弦量的解析式。解:将u1、u2用相量式表示为【例11.4】已知u1=100 sin(314t+45°)V,u2=100 sin(314t+135°)V,试求u=u1+u2。22110045VU2100135VU12100451001351002VUUUj12200sin(31490)Vuuut因为所以UIR,由式11-13、11-14,可知iu(11-15)将电阻上的电压与电流用相量表示UIR电阻上的电压、电流的波形图和相量图如图11-7(b)、(c)所示。(11-16)图11-7交流电路的电阻元件2siniItRRR22sinRRpuiUIt交流电路中,某段电路在任一瞬间所吸收的功率称为该段电路的瞬时功率,用小写字母p表示。瞬时功率等于电压瞬时值与电流瞬时值的乘积:令则电阻元件的瞬时功率波形图如图11-8所示。(11-17)图11-8电阻的瞬时功率波形结论:电阻元件是耗能元件。01TPpdtT201(2sin)TRRRRRPUItdtUIT瞬时功率在一个周期内的平均值为平均功率(又称有功功率),用字母P表示,即得到交流电路电阻元件的有功功率为(11-18)(11-19)750.34A220PIU【例11.5】一个标称值为“220V,75W”的电烙铁,电源电压为220V,试求它的电流,并计算它使用20小时所耗电能的度数。解:电流的有效值20小时所耗电能3751020kWh1.5kWh1.5W度2.纯电感电路图11-9a所示为线性电感L正弦交流电路,设电感L流过正弦电流为2sin()iiIt(11-20)则电感两端的电压为2cos()=2sin()2iidiuLdtLItLIt(11-21),2uiUωLIψψ 比较式11-20、11-21,有LULXI2可见,电感上的电压与电流频率相同,电压超前电流相位,电压与电流有效值成正比,其比值(11-22)XL-感抗,单位为欧姆。故电感元件具有“通直流,阻交流”的特性。将电感上的电压与电流用相量表示,即LUjXI电感上的电压、电流的波形图和相量图如图11-9(b)、(c)所示。(11-23)图11-9交流电路中电感元件【例11.6】将一个电感L=127mH的线圈(电阻忽略不计),接入电压为220V、f=50Hz的交流电源上,求线圈的感抗和流过电流的大小。若把此线圈接于220V、f=1000Hz的交流电源上,通过线圈的电流又为多少?解:当f=50Hz时322501271040220A5.5A40LLXfLUIX当f=1000Hz时322100012710800220A0.275A800LLXfLUIX纯电感元件的瞬时功率(设电流初相位为0)LLLLLLL2sin()sin2=sin2puiUIttUIt(11-24) 可见,电感元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的,与电阻元件不同的是,其瞬时值有正有负。电感元件的瞬时功率波形图如图11-10所示。由图11-10可以看出,电感元件在交流电路中不断地进行着磁场能和电能的交换。其平均功率为LLLL0011sin20TTPpdtUItTT(11-25)图11-10电感的瞬时功率波形式(11-25)说明电感元件是不消耗能量的,它只是与外电路进行能量的交换。为了衡量电感元件与外电路进行能量交换规模大小,定义电感元件瞬时功率的最大值称为无功功率,用QL表示,根据定义有 无功功率应具有与有功功率相同的量纲,但二者毕竟不相同,为了区别起见,规定无功功率的单位为乏(var)。LLLQUI(11-26)【例11.7】将一个电感L=127mH的线圈(线圈的电阻忽略不计)接入电压为220V、频率为50Hz的电源上。试求线圈的有功功率P和无功功率Q。解:根据已知条件得有功功率P=0W无功功率Q=UI=220×5.5var=1210var322501271040220A5.5A40LLXfLUIX3.纯电容电路图11-11a所示为线性电容C正弦交流电路,设电容两端加正弦电压2sin()uuUωtψ则电容上流过的电流为2cos()2sin()2uuduiCdtCUtCUtuiCUI

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