5.1.3-一维双原子链

5.1.3一维双原子链，光学支实际应用的晶体材料大多是复式晶格，由于原子的多样性或原子之间相互作用的多样性必然会导致晶体中原子振动的多样性，因此这种多样性应该会在晶格振动中表现出来，从而使得复式晶格振动的规律和特征与Bravais晶格存在重大差别。所以，有必要进一步研究复式晶格中的晶格振动，以便揭示出晶格振动的普遍规律和特征。下面，仍以一维为例，来进一步研究最简单的双原子复式晶格的振动。1.运动方程与格波一维双原子复式晶格：Ｎ个由相距为d、质量分别为ｍ1和ｍ2的两个原子所组成的基元以a的间距周期性地排列在一条长为L=Na的直线段上作为初步研究的起点，采用相邻作用近似和简谐近似，将一维双原子复式晶格中的原子简化为用原长分别为d和a-d、弹性系数分别为、数目各N个的两种小球相间地逐个串结成直线段，如下图所示的两种弹簧把质量分别为21和21mm和第n个初基元胞——平衡位置为t时刻偏离平衡位置的位移为:1m101dnaxn,),(,txyn01所受力为2121,,,nnnffF:2m平衡位置为所受力为t时刻偏离平衡位置的位移为202dnaxn,1112,,,nnnffF),(,txyn02)],(),([,,,txytxyfnnn020112)],(),([,,,txytxyfnnn02101221)],(),([,,,txytxyfnnn01102211)],(),([,,,txytxyfnnn010211运用Newton第二定律，可得在相邻作用近似和简谐近似下一维双原子复式晶格的晶格振动方程)],(),([)],(),([),(,,,,,txytxytxytxytxymnnnnn02101202011011)],(),([)],(),([),(,,,,,txytxytxytxytxymnnnnn01021011022022Nn、、21一维双原子复式晶格所具有的平移对称性,使得晶体中一个原子的振动位移与平衡位置相距为na的其它等同原子的振动位移以一系列特定的用简约波矢来标记的可能相位因子彼此关联：naiqqhhep〈时取符号奇数偶数为，整数NNhNNahqh222,若一维双原子复式晶格中第n个初基元胞内平衡位置为的原子的振动位移与其它等同原子的振动位移以一个用特定波矢hq标记的确定相位因子相关联，则将其振动位移函数表示成于是有：)],(),([),(tdytdytdym21111]),(),([aiqhetdytdy212]),(),([),(aiqhetdytdytdym12222)],(),([tdytdy121代入晶格振动方程，可得),(,210nx),(,txynqh0210、,),(),(,tdyetxynaiqnqhh为了解得可设即于是得到)]()()[()(12112222AAeAAtTAmtTaiqh可转化为一个二阶常微分方程和一个齐次代数方程组)()(tTtT2002222112122112121AmAeAeAmaiqaiqhh)()()()(先求解齐次代数方程组：必有非零解，故系数行列式应为零0222121212121)()()()(meemaiqaiqhh)]()()[()(aiqheAAAAtTAmtT21221111),(tdy21、,)(),(tTAtdy210、,)(),(,tTeAtxynaiqnqhh由此可得和])()()cos()[)(()(22122121212121212118111121mmaqmmmmqhh])()()cos()[)(()(22122121212121222218111121mmaqmmmmqhh表明：相应于一维双原子复式晶格中两种不同的原子和原子之间相互作用的两种不同情况，晶体中的原子振动呈现出两种不同的色散关系。代入齐次代数方程组，2121212112、,)(.)(,)(,aiqhqqhhheqmAA表明：原子的振动可以有任意的复振幅，但同一初基元胞中两种原子的复振幅比值是确定的，即振幅比和相位差是确定的。可得代入二阶常微分方程，若简谐振动采用复指数函数的形式则得21、,~)()()(tqiqhhetT因此，一维双原子复式晶格中相应于波矢hq的原子振动位移函数为表明：一维双原子复式晶格中共同参与一个频率为)(hq的简正振动的所有等价原子，由于晶体所具有的平移对称性，使得他们的简谐振动彼此以波矢为hq、频率为)(hq的平面简谐波相关联。这个平面简谐波，就是一维双原子复式晶格振动的一个格波。2.声学支格波和光学支格波由于存在着两种不同的原子和两种不同的原子之间相互作用，一维双原子复式晶格振动呈现出两种不同的色散关系与一维Bravais晶格振动不同的是，,),(])([,,)(tqnaqiqnqhhhheAtxy0Nn、、、、212121,,格波的频率或者说原子做简正振动的频率局限在两个频率范围内max,1或max,2min,2表明：一维双原子复式晶格有一种带通滤波的作用，频率不在这两个频率范围内的机械波将剧烈衰减很快消失，只有频率在这两个频率范围内的机械波才能通过晶体传播。相应于两种不同的色散关系，一维双原子复式晶格中分成了两支不同的格波，每支格波由N个波矢（指简约波矢）不同的格波所成。在长波情况下（0q），这两支格波分别有着不同的重要作用。长波极限：0q])()()(sin)[)(()(22122122121212121212116111121mmaqmmmmqhh}])()()([){)((212212212212121214111121mmaqmmmmh]})()()([){)((2212212212121212111121mmaqmmmmh2212121)())((aqmmh即得一级近似式为02121211hhhqqammaq,)(质量密度为amm21弹性模量为aY2121由此可见AqvYammaqv2121210||此时格波的频率很低，可以用超声波来激发。因此，由N个波矢不同的格波所组成的这支格波，通常称为声学支格波或声学波，其色散关系常常记为)(hAq，即)()(hhAqq1]})()()([){)(()(22122122121212122222111121mmaqmmmmqhh])()()()[)((221221221212121111mmaqmmmmh，对应于远红外光波。实验中发现，离子晶体中此频率的格波能与入射的远红外光波共振而导致对远红外光波的强烈吸收。或212212212212121212121])()()([))(()(mmaqmmmmmmqhh])()()([))((22122122121212121211mmaqmmmmmmh即一级近似式为00222121212hhqmmmmq,)())(()(max,在实际晶体材料中，)(021141131010ss~值的量级约为因此，由N个波矢不同的格波所组成的这支格波，通常称为光学支格波或光学波，其色散关系常常记为)(hOq，即)()(hhOqq1综上所述，相应于两种格波色散关系，一维双原子复式晶格中分成了声学支格波和光学支格波，每支格波均由N个波矢不同的格波所组成。因此有由度数目晶体中原子振动的总自晶体中的格波数目N23.格波与原子振动曾经指出：同一初基元胞中两种原子的振幅比和相位差是确定的2121212112、,)(.)(,)(,aiqhqqhhheqmAA显然，这种振幅比值及相位差值，对于声学支格波和光学支格波是不相同的。这表明：对于这两支不同的格波，同一初基元胞中两种原子运动的相对情况是不一样的。下面，就通过长波极限这一极端情况来初步认识相应于这两支不同的格波同一初基元胞中两种原子运动的相对情况。长波极限：0q对于声学支格波有1101102)(,)(,/AA则可得),(),(),()(,)(,)(,)(txymtxymtxymmnncn021020110101021tqitqihheAmeAm)()(,)()(,1110221011表明：相应于声学支格波同一初基元胞中两种原子的振动相位相同，声学支格波反映初基元胞中两种原子的质心运动，如a图。对于光学支格波有：21201202mmAA//)(,)(,则可得),(),(),()(,)(,)(,)(txymtxymtxymmnncn02202012010202102220112011tqitqihheAmeAm)()(,)()(,即0020),(,)(txycn),()(,)(txymmn011021),()(,)(txymmn021021即),(),(),(,)(,)(,)(txytxytxynncn02100110010tqitqihheAmeAm)()(,)()(,2220222011表明：相应于光学支格波同一初基元胞中两种原子的振动相位相反且质心静止不动，光学支格波反映了初基元胞中两种原子的相对运动，如图b图所示一维双原子复式晶格中2N个原子的振动，在相邻作用近似和简谐近似下可等效为由2N个简正坐标所描述的2N个简正振动。)(hq的简正振动的所有等同原子的简谐振动彼此以一个波矢为hq一维双原子复式晶格具有的平移对称性,使得共同参与一个频率为综上所述：频率为)(hq的格波相关联2N个不同的简正振动，对应于2N个不同的格波一维双原子复式晶格中存在着两种不同的原子和两种不同的原子之间相互作用，使得一维双原子复式晶格中的2N个格波分成声学支格波和光学支格波这两支不同的格波，每支格波均由具有相同色散关系的N个波矢不同的格波所组成。声学支格波反映了初基元胞中两种原子的质心运动，光学支格波反映了初基元胞中两种原子的相对运动。每一个原子同时参与这2N个简正振动，原子的实际振动位移是其所参与的所有简正振动的振动位移的叠加这对一维双原子复式晶格中所有2N个原子而言，相当于晶体中所有2N个格波的叠加。])([,,)(,),(),(tqnaqiqqnqqnhhhhhheAtxytxY00Nn、、、2121,动画5.1.3－1一维双原子复式晶格中的原子振动与格波例题一维复式格子中，如果计算1)光学波频率的最大值和最小值，声学波频率的最大值；2)相应声子的能量,和；3)在T=300K下，三种声子数目各为多少？4)如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段？gkm27106715－.4mMmN/15OminAmaxOmaxOEmaxOEminAEmax1)声学波的最大频率MA2maxsradA/max14103光学波的最大频率2OmaxMMmmM20.光学波的最小频率4mMmN/15sradO/min141062sradO/.max14107625OOEmaxmaxeVEO4420.maxOOEminmineVEO3960.mi