华中科技大学数理方程课件——第二章分离变量法

数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法第二章分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法•基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。•适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等•特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。22222,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(,0)(),(),0uuaxlttxutulttuxuxxxxlt一、有界弦的自由振动数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法令(,)()()uxtXxTt代入方程：2()''()''()()XxTtaXxTt2''()''()()()XxTtXxaTt令2''()()0''()()0XxXxTtaTt代入边界条件(0)()0,()()0XTtXlTt(0)0,()0XXl22222,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(,0)(),(),0uuaxlttxutulttuxuxxxxlt1、求两端固定的弦自由振动的规律数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法''()()0(0)0,()0XxXxXXl特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定条件下求非零解的问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：01）()xxXxAeBe00llABAeBe00ABX02）()XxAxB00ABX()cossinXxAxBx0sin0ABl03）令，为非零实数2(1,2,3,)nnl222(1,2,3,)nnnl222nl()sin(1,2,3,)nnnXxBxnl数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法()sin(1,2,3,)nnnXxBxnl数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法2222''()()0nnanTtTtl()'cos'sin(1,2,3,)nnnnatnatTtCDnll(,)(cossin)sin(1,2,3,)nnnnananuxtCtDtxnlll11(,)(,)(cossin)sin(1,2,3,)nnnnnuxtuxtnananCtDtxnlll2''()()0''()()0XxXxTtaTt22222,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(,0)(),(),0uuaxlttxutulttuxuxxxxlt222(1,2,3,)nnnl()sin(1,2,3,)nnnXxBxnl数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法01(,)(,0)sin()ntnnuxtuxCxxl10(,)sin()nntuxtnanDxxtll1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanCu2001cos2/sindd22llnlnlxxxl001sinsindcoscosd02llnmnmnmxxxxxxllllxxlmxlnCxxlmxlnnldsinsindsin)(010mCl2lmxxlmxlC0dsin)(2lnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(2数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法)()(),(tTxXtxu2/lnnxlnBxXnnsin)(tlanDtlanCTnnnsincos1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanC11nnnnnTXuulnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(20XX02TaT▪分离变量▪求特征值和特征函数▪求另一个函数▪求通解▪确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。lxxtxuxxuttlututlxxuatu0),()0,(),()0,(0,0),(,0),0(0,0,22222数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法2解的性质x=x0时：(,)(cossin)sinnnnnananuxtCtDtxlll其中：22arctannnnnnnnDnaACDlC00(,)sincos()nnnnnuxtAxtlcos()sinnnnnAtxlxlnsin驻波法2nlnlt=t0时：22nnnaflnnvfnllna22Ta00(,)cos()sinnnnnnuxtAtxl(1,2,3,)n数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦作微小横向振动时的位移。()(10)1000xxx)()(),(tTxXtxuTXTX410TTXX41010XX0104TT0)()0(),0(tTXtu0)10(,0)0(100,0XXxXX0)0(X0)()10(),10(tTXtu0)10(X100,0)0,(,1000)10()0,(0,0),10(),0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu解：数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法0)10(,0)0(100,0XXxXX2002XX1010(0)0()0XABXlAeBe0BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0BA0)(xX0X20(0)0(10)sin100XAXB,3,2,1,10nnn10022nnxnBxXnn10sin)(xBxAxXsincos)(02XX数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法,3,2,1,100/22nnnxnBxXnn10sin)(0104TT010022nnTnTtnDtnCTnnn10sin10cos1110sin)10sin10cos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu)10sin10cos(10sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnn10sin)10sin10cos(100,0)0,(,1000)10()0,(0,0),10(),0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为0)10(,0)0(100,0XXxXX数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法110sin)10sin10cos(nnnxntnDtnCu1000)10(10sin)0,(1xxxnCxunn0sin)0,(1nnxlnlanDtxu0nD100d10sin1000)10(102xxnxxCn13310)12(sin)12(10cos)12(54nxntnnu100d10sin)10(50001xxnxx)cos1(5233nn为奇数，为偶数，nnn33540100,0)0,(,1000)10()0,(0,0),10(),0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法)()(),(tTxXtxu2XTaXT21XTXaT0XX20TaT0)()0(),0(tTXtu0,010(0)0,()0XXxXXl0)0(X(,)()()0ultXlTtx()0Xl222222,0,0(,)(0,)0,0,0(,0)(,0)2,0,0uuaxlttxultuttxuxuxxlxxlt解：例2求下列定解问题数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法0,0(0)0,()0XXxlXXl2002XX(0)0()0llXABXlAeBe0BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0BA0)(xX0X20(0)0()cos0XAXlBl(21)/2,1,2,3,nnln222(21)/4nnl(21)()sin2nnnXxBxlxBxAxXsincos)(02XX数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法222(21)/4nnl(21)()sin2nnnXxBxl20TaT2222(21)04nnnaTTl(21)(21)cossin1,2,3,22nnnnanaTCtDtnll11(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnnnananuuCtDtxlllnnnTXu(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnananCtDtxlll222222,0,0(,)(0,)0,0,0(,0)(,0)2,0,0uuaxlttxultuttxuxuxxlxxlt0,0(0)0,()0XXxlXXl数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法1(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnananuCtDtxlll21(21)(,0)sin22nnnuxCxxlxl1(,0)(21)(21)sin022nnuxnanDxtll0nD202(21)(2)sind2lnnCxlxxxll2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll23332(21)ln2(,0)(,0)2,0uxuxxlxt初始条件数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法)()(),(tTxXtxuTXTXTTXX0XX0TT0)()1(),1(0)()0(),0(tTXtutTXtu0)1(,0)0(XX10,0)0,(,sin)0,(0,0),1(),0(0,10,2222xtxuxxuttututxxutu例3求下列定解问题解：0)1(,0)0(10,0XX