线性相位FIR数字滤波器的特性

•广州大学物理与电子工程学院第五章FIR数字滤波器的设计5.1线性相位FIR数字滤波器的特性主要内容一、线性相位系统的定义二、线性相位系统的时域特性三、线性相位系统的频域特性四、线性相位系统的零点分布重点与难点重点1、线性相位系统的定义2、线性相位系统的时域和频域特性难点1、线性相位系统的零点FIR数字滤波器的基本概念数字滤波器设计：由给定的系统频率特性,确定M和N及系数ai，bjLTI系统：iiNijjMjzazbzH101)(若ai等于零，则系统为FIR数字滤波器。若ai至少有一个非零，则系统为IIR数字滤波器。FIR滤波器的设计kMkkkMkzkhzbzH][)(00M阶(长度M+1)FIR数字滤波器的系统函数为：其他0,,1,0][MkbkhkFIR数字滤波器设计：由给定的系统频率特性,确定M及系数bk或h[k]FIR数字滤波器的基本概念FIR低通数字滤波器设计指标Wp:通带截止频率Ws:阻带截止频率dp:通带波动ds:阻带波动)1lg(20ppdA通带衰减(dB)ss20lgAd阻带衰减(dB)通带过渡带阻带WWpWsejWdpdpdsFIR数字滤波器的基本概念(1)容易设计成线性相位。(2)h[k]在有限范围内非零，系统总是稳定的。(3)非因果FIR系统都能经过延时变成因果FIR系统。(4)可利用FFT实现。FIR与IIR数字滤波器比较IIR数字滤波器特点：(1)能在较低的阶数下获得较好的幅度响应。(2)相位响应无法设计成线性特性。FIR数字滤波器特点：FIR数字滤波器的基本概念(3)系统不一定稳定（因为有反馈）。线性相位系统的定义)(jjje)e()e(WWWHH若(W)=aW,则称系统H(z)是严格线性相位的。严格线性相位系统定义广义线性相位系统定义)(jje)()e(WaWWAH其中，A(W)是W的实函数，称为幅度函数。1、线性相位系统的时域特性线性相位系统的单位脉冲响应h[k]需满足：h[k]=h[Mk]可以证明上式是线性相位系统的充要条件。即，单位脉冲响应为奇对称或偶对称！0123401234I型线性相位系统h[k]偶对称，M为偶数M=4II型线性相位系统h[k]偶对称，M为奇数M=3III型线性相位系统h[k]奇对称，M为偶数M=4IV型线性相位系统h[k]奇对称，M为奇数M=31、线性相位系统的时域特性I型(h[k]=h[Mk],M为偶数)jj0.5(e)()eMHAWWW其中L=M/2][cos][2][)(012、线性相位系统的频域特性012340.51j0.50e{2[]cos(0.5)[0.5]}MMkhkMkhMWW0.51jj()j0.50[](ee)[0.5]eMkMkMkhkhMWWW/21jj/2j0/21[]e[/2]e[]eMMkMkkkMhkhMhkWWWI型(h[k]=h[Mk]，M为偶数)2、线性相位系统的频域特性频域特性证明kMkkhkhHWWj0je][]}[{DTFT)e(0.5j0.51e{[0.5]2[0.5]cos}MMkhMhMkkWW利用对称性h[k]=h[Mk]利用欧拉公式改写jj()j0.5j(0.5)j(0.5)eee(ee)kMkMMkMkWWWW0.50.5[]cos(0.5)[0.5]cos=nMkkMnhkMkhMnnWW令I型2、线性相位系统的频域特性例1：h[k]={1,2,1},M=2je([1]2[0]cos)hhWW2/cos4e2jWW240A(W)2)π2(WA)(WA)(WA)(WAA(W)关于0和点偶对称)π2(WA)(WA可设计LPF、HPF、BPF、BSFA(W)0.5jj0.51(e)e{[0.5]2[0.5]cos}MMkHhMhMkkWWWA(W)的周期=2jj0.5(e)()eMHAWWW0[]cos[(0.5)]LkbkkW])5.0cos[(][2)(0WWkkLhALk其中:L=(M1)/2II型(h[k]=h[Mk]，M为奇数)2、线性相位系统的频域特性j/2ecos(/2)WW例2：h[k]={0.5,0.5},M=10122A(W)A(W)的周期=4A(W)A()=0只能设计LPF和BPF，不能用于HPF、BSF的设计!A(W)关于W=点奇对称)(WA)(WA)π2(WA)(WAII型2、线性相位系统的频域特性(1)/2jj0.50(e)e2[(1)/2]cos[(0.5)]MMkHhMkkWWWj/2e[2[0]cos(0.5)]hWWjj(0.50.5π)(e)()eMHAWWW其中L=M/21()2[]sin()LkAhLkkWWIII型(h[k]=h[Mk]，M为偶数)2、线性相位系统的频域特性01234jjsin()eWW例3:h[k]={0.5,0,0.5},M=20A(W)12A(W)的周期=2A()=A()=0只能设计BPF和BSF，不能用于LPF、HPF的设计!A(W)关于W=0,点奇对称)(WA)(WA)π2(WA)(WAIII型2、线性相位系统的频域特性0.5jj(0.50.5π)1(e)e2[0.5]sin()MMkHhMkkWWW1j(0.5π)1e2[1]sin()khkkWWjj(0.50.5π)(e)()eMHAWWW其中L=(M1)/20()2[]sin((0.5))LkAhLkkWWIV型(h[k]=h[Mk]，M为奇数)2、线性相位系统的频域特性j0.5jsin(0.5)eWW例4：h[k]={0.5,0.5},M=10A(W)122A(W)的周期=4A()=0能设计HPF、BPF和BSF，不能用于LPF的设计!A(W)关于W=0点奇对称，关于W=点偶对称)(WA)(WA)π2(WA)(WAIV型2、线性相位系统的频域特性jj(0.50.5π)0(e)e2[]sin((1/2))LkHhLkkWWWA(W))(e)e()5.0j(jWWWAHM类型IIIIIIIV阶数M偶奇偶奇h[k]的对称性偶对称偶对称奇对称奇对称A(W)关于W的对称性偶对称偶对称奇对称奇对称A(W)关于W的对称性偶对称奇对称奇对称偶对称A(W)的周期2424000.50.5A()任意任意00A()任意00任意可适用的滤波器类型LP,HP,BP,BSLP,BP微分器,Hilbert变换器微分器,Hilbert变换器，HP2、线性相位系统的频域特性通用公式：3、线性相位系统的零点分布][][kMhkh)()(1zHzzHM1、z=0不可能是系统的零点；2、zk是系统的零点，则zk1也是系统的零点。若h[k]是实序列，则H(z)的零点有：,ejkkkrz,ej*kkkrz,ej11kkkrzkkkrzj11e)*(——偶多项式——奇多项式1()()MHzzHz1()()MHzzHzⅠ和Ⅱ型Ⅲ和Ⅳ型由以上可以看出：432111)(zazbzazzHRe(z)Im(z)是不在单位圆上的复零点kkkrzje(1)3、线性相位系统的零点分布——4阶偶对称多项式。Re(z)Im(z)2121)(zazzH是在单位圆上的复零点kkkrzje(2)3、线性相位系统的零点分布——2阶偶对称多项式。Re(z)Im(z)2131)(zazzH是不在单位圆上的实零点kkkrzje(3)3、线性相位系统的零点分布——2阶偶对称多项式。Re(z)Im(z)14()1Hzz任意线性相位系统是上述四种子系统的组合h[k]奇对称时，H(z)在z=1处一定有奇数阶零点。是在单位圆上的实零点kkkrzje(4)3、线性相位系统的零点分布14()1Hzz——1阶奇对称多项式。——1阶偶对称多项式。四种不同类型的线性相位系统在zk=1的零点(1)I型FIR滤波器(H(z)为偶对称多项式，M为偶数)在zk=1和zk=1无零点或者有偶数个零点。(2)II型FIR滤波器(H(z)为偶对称多项式，M为奇数)在zk=1无零点或有偶数个零点，zk=1有奇数个零点。(3)III型FIR滤波器(H(z)为奇对称多项式，M为偶数)在zk=1和zk=1有奇数个零点。(4)IV型FIR滤波器(H(z)为奇对称多项式，M为奇数)在zk=1有奇数个零点，zk=1无零点或有偶数个零点。3、线性相位系统的零点分布解：例5：已知8阶III型线性相位FIR滤波器的部分零点为：z1=0.2，z2=j0.8(1)试确定该滤波器的其他零点。(2)设h[0]=1,求出该滤波器的系统函数H(z)。(1)z3=1/z1=5;z4=1/z2=j1.25，z5=z2*=j0.8，z6=z4*=j1.25；z7=1;z8=1;(2)811()(1)kkHzzz=1z85.2(z1z7)+2.2025(z2z6)6.253(z3z5)[]{15.22.20256.25306.2532.20255.21}hk，，，，，，，，III型在zk=1和zk=1有奇数个零点。单位取样响应：课堂小结11、线性相位FIR数字滤波器的时域特性h[k]=h[M-k]Ⅰ型:h[k]偶对称，M为偶数Ⅱ型:h[k]偶对称，M为奇数Ⅲ型:h[k]奇对称，M为偶数Ⅳ型:h[k]奇对称，M为奇数课堂小结22、线性相位FIR数字滤波器的频域特性课堂小结33、线性相位FIR数字滤波器的零点分布特性是不在单位圆上的复零点kkkrzje(1)是在单位圆上的复零点kkkrzje(2)是不在单位圆上的实零点kkkrzje(3)是在单位圆上的实零点kkkrzje(4)