七年级数学(上册)第1页有理数)3,2,1:()3,2,1:(如负整数如正整数整数)0(零)8.4,3.2,31,21:(如负分数分数)8.3,3.5,31,21:(如正分数第一章有理数及其运算1.整数:包含正整数和负整数,分数包含正分数和负分数。正整数和正分数通称为正数,负整数和负分数通称为负数。正整数和负整数通称为自然数2.正数:都比0大,负数比0小,0既不是正数也不是负数。正整数、0、负整数、正分数、负分数这样的数称为有理数。数轴的三要素:原点、正方向、单位长度(三者缺一不可)。任何一个有理数,都可以用数轴上的一个点来表示。(反过来,不能说数轴上所有的点都表示有理数)3.相反数:只有符号不同的两个数互为相反数,aa和-互为相反数,0的相反数是0。在任意的数前面添上“-”号,就表示原来的数的相反数。在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的侧,且到原点的距离相等。数轴上两点表示的数,右边的总比左边的大。正数在原点的右边,负数在原点的左边。4.绝对值:数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值,用“||”表示。正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。)0()0(0)0(||aaaaaa或)0()0(||aaaaa即:当a是正数时,aa;当a是负数时,aa;当a=0时,0a5.绝对值的性质:除0外,绝对值为一正数的数有两个,它们互为相反数;互为相反数的两数(除0外)的绝对值相等;任何数的绝对值总是非负数,即|a|≥0①对任何有理数a,都有|a|≥0②若|a|=0,则|a|=0,反之亦然③若|a|=b,则a=±b④对任何有理数a,都有|a|=|-a|6.比较两个负数的大小,绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下:①先求出两个数负数的绝对值;②比较两个绝对值的大小;③根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断。7.两个负数比较大小,绝对值大的反而小。8.数轴上的两个点表示的数,右边的总比左边的大。第二章有理数的运算1.有理数加法法则:·同号两个数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。0-1-2-3123越来越大七年级数学(上册)第2页·异号的两个数相加,绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两数相加得0.·一个数同0相加仍得这个数2.灵活运用运算律,使用运算简化,通常有下列规律:①互为相反的两个数,可以先相加;②符号相同的数,可以先相加;③分母相同的数,可以先相加;④几个数相加能得到整数,可以先相加。3.加法交换律:abba4.加法结合律:()()abcabc5.有理数减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。6.有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。任何数与0相乘积仍得0。7.有理数减法运算时注意两“变”:①改变运算符号;②改变减数的性质符号(变为相反数)8.有理数减法运算时注意一个“不变”:被减数与减数的位置不能变换,也就是说,减法没有交换律。有理数的加减法混合运算的步骤:①写成省略加号的代数和。在一个算式中,若有减法,应由有理数的减法法则转化为加法,然后再省略加号和括号;②利用加法则,加法交换律、结合律简化计算。(注意:减去一个数等于加上这个数的相反数,当有减法统一成加法时,减数应变成它本身的相反数。)9.倒数:如果两个数互为倒数,则它们的乘积为1。(如:-2与21、3553与…等)10.有理数乘法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。②任何数与0相乘,积仍为0。11.乘法交换律:abba12.乘法结合律:()()abcabc13.乘法分配律:()abcacbc乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。14.有理数乘法运算步骤:①先确定积的符号;②求出各因数的绝对值的积。乘积为1的两个有理数互为倒数。注意:①零没有倒数②求分数的倒数,就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。15.有理数除法法则:·除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。·两个有理数相除,同号得正,异号得负,绝对值相除。0除以任何数都得0,且0不能作除数,否则无意义。16.有理数的乘方:求n个相同因数a的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在na中a叫做底数,n叫做指数,na读作a的n次幂(或a的n次方)。anaaaa个na指数底数幂七年级数学(上册)第3页注意:①一个数可以看作是本身的一次方,如5=51;②当底数是负数或分数时,要先用括号将底数括上,再在右上角写指数。17.乘方的运算性质:①正数的任何次幂都是正数;②负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;③任何数的偶数次幂都是非负数;④1的任何次幂都得1,0的任何次幂都得0;⑤-1的偶次幂得1;-1的奇次幂得-1;⑥在运算过程中,首先要确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值。18.有理数混合运算法则:①先算乘方,再算乘除,最后算加减。②如果有括号,先算括号里面的。19.混合运算顺序:·先算乘方,再乘除,后加减;·同级运算,从左到右进行;·如有括号,先算括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。20.近似数和有效数字:与实际相符的数,叫做准确数与实际接近的数,叫近似数21.有效数字:一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位这时,从左边第一个非零数字起到精确到那一位数字止,所有的数字第三章实数1.一般地如果一个数的平方根等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫a的二次方根.一个正数有正负两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.正数的平方根称为算数平方根.2.实数定义:有理数与无理数统称为实数。3.实数的分类:无理数:无限不循环小数叫无理数。有理数:整数和分数统称有理数。无理数定义:即非有理数之实数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。无理数是无限不循环小数。如圆周率π、等。无理数性质:无限不循环的小数就是无理数。换句话说,就是不可以化为整数或者整数比的数性质1无理数加(减)无理数既可以是无理数又可以是有理数性质2无理数乘(除)无理数既可以是无理数又可以是有理数性质3无理数加(减)有理数一定是无理数性质4无理数乘(除)一个非0有理数一定是无理数无理数与有理数的区别:1、把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成有限小数和无限循环小数,七年级数学(上册)第4页比如:4=4.0,=0.8,=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数,比如:=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数;2、所有的有理数都可以写成两个整数之比,而无理数不能。根据这一点,有人建议给无理数摘掉,把有理数改叫为“比数”,把无理数改叫为“非比数”。无理数的识别:判断一个数是不是无理数,关键就看它能不能写出无限不循环小数,而把无理数写成无限不循环小数,不但麻烦,而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。初中常见的无理数有三种类型:(1)含根号且开方开不尽的方根,但切不可认为带根号的数都是无理数;(2)化简后含π的式子;(3)不循环的无限小数。掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。4.实数的大小比较:用数轴表示数,右边的数总比左边的数大:正数>0>负数(1)差值比较法:>0>,=0,<0<(2)商值比较法:若为两正数,则>>;<<(3)绝对值比较法:若为两负数,则><<>(4)两数平方法:如实数与数轴上的点一一对应。平面直角坐标系中的点与有序实数对之间一一对应。数a的相反数是-a一般地如果一个数的立方根等于a,那么这个数叫做a的立方根,也叫a的三次方根求一个数的立方根的运算,叫做开立方.一个正数有一个立方根,一个负数有一个立方根;0的立方根是0.在实数运算时,有理数的运算法则及运算性质同样适用。先算乘方和开平,再算乘除,最后算加减,如果遇到括号,则先进行括号里的运算。规律:正数的平方根中被开方数大的较大。正数的立方根中被开方数大的较大。被开方数相同时,开方的次数越大结果越小。第四章代数式1.代数式的概念:用运算符号(加、减、乘除、乘方、开方等)把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式...。单独的一个数或一个字母也是代数式。注意:①代数式中除了含有数、字母和运算符号外,还可以有括号;②代数式中不含有“=、、、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式,但等号和不等号两边的式子一般都是代数式;③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义,是实际问题的要符合实际问题的意义。2.代数式的书写格式:①代数式中出现乘号,通常省略不写,如vt;七年级数学(上册)第5页②数字与字母相乘时,数字应写在字母前面,如4a;③带分数与字母相乘时,应先把带分数化成假分数后与字母相乘,如a312应写作a37;④数字与数字相乘,一般仍用“×”号,即“×”号不省略;⑤在代数式中出现除法运算时,一般按照分数的写法来写,如4÷(a-4)应写作44a;注意:分数线具有“÷”号和括号的双重作用。⑥在表示和(或)差的代差的代数式后有单位名称的,则必须把代数式括起来,再将单位名称写在式子的后面,如)(22ba平方米3.代数式的系数:代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数......。如3x,4y的系数分别为3,4。注意:①单个字母的系数是1,如a的系数是1;②只含字母因数的代数式的系数是1或-1,如-ab的系数是-1。a3b的系数是14.代数式的项:代数式7262xx表示6x2、-2x、-7的和,6x2、-2x、-7是它的项,其中把不含字母的项叫做常数项注意:在交待某一项时,应与前面的符号一起交待。5.单项式:由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式。6.系数:单项式前面的数字因数叫做这个单项式的系数。7.单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。8.多项式:几个单项式的和叫做多项式。其中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。9.多项式的次数:多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数。10.整式:单项式与多项式统称整式。11.同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。注意:①判断几个代数式是否是同类项有两个条件:a.所含字母相同;b.相同字母的指数也相同。这两个条件缺一不可;②同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关;③几个常数项也是同类项。。12.合并同类项:把多项式中的同类项合成一项,叫做合并同类项。合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变。①合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律;②合并同类项的法则是把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。注意:①如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后结果为0;②不是同类项的不能合并,不能合并的项,在每步运算中都要写上;③只要不再有同类项,就是最后结果,结果还是代数式。13.去括号时符号变化规律:如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号不变;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。14.根据分配律去括号:括号前面是“+”号看成+1,括号前面是“-”号看成-1,根据乘法的分配律用+1或-1去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。注意:七年级数学(上册)第6页①去括号时,要连同括号前面的符号一起去掉;②去括号时,首先要弄清楚括号前是“+”号还是“-”号;③改变符号时,各项都变号;不改变符号时,各项都不变号。一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。第五章一元一次方程1.含有未知数的等式叫做方程,使方程左右两边的值都相等的未知数的值叫做方程的解。只含有一个未知数,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程。运用