搜索
9.2排列与组合【复习目标】1.理解排列、组合的基本概念.2.会运用排列数、组合数公式进行计算.3.会解排列、组合简单问题,会判断给定问题是排列还是组合问题,会根据有关定理、公式进行分析、计算.【知识回顾】1.排列的概念一般地说,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.排列数(1)一般地,从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同元素的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中取出m个不同元素的排列数,用符号𝑨𝒏𝒎表示.(2)𝑨𝒏𝒎=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),(m≤n)(3)自然数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,记作n!n!=n(n-1)(n-2)…2·1,规定0!=1此外,排列数公式还可以写成𝑨𝒏𝒎=𝒏!(𝒏−𝒎)!4.组合数(1)一般地,从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数,叫做从n个不同的元素中取出m个不同元素的组合数,用符号𝑪𝒏𝒎表示.(2)𝑪𝒏𝒎=𝒏(𝒏−𝟏)(𝒏−𝟐)…(𝒏−𝒎+𝟏)𝒎!,(m≤n),规定𝑪𝒏𝟎=1(3)𝑪𝒏𝒎=𝒏!𝒎!·(𝒏−𝒎)!,(m≤n)【例1】用0,1,2,3,4,5六个数字(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数?(2)可以组成多少个没有重复数字的四位奇数?(3)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数?【例题精解】【分析】本题考查了有限制条件的排列问题.【解】(1)方法一(特殊位置分析法)用表示四位数,则千位不能为0,只能从1,2,3,4,5中任选一个,有𝑨𝟓𝟏种排法,后三位可以从剩下的五个数中任取3个排入,有𝑨𝟓𝟑种排法,由分步计数原理,共有𝑨𝟓𝟏·𝑨𝟓𝟑=300(个)方法二(特殊元素分析法)先考虑元素0,分两类:①若0不入选,则有𝑨𝟓𝟒种排法;②若0入选,则0只能放在后3位,有𝑨𝟑𝟏种排法,再从剩下的五个数中选3个排入,有𝑨𝟓𝟑种排法,由分步计数原理,共有𝑨𝟑𝟏·𝑨𝟓𝟑种排法;由上述①②,再利用分类计数原理,共有𝑨𝟓𝟒+𝑨𝟑𝟏·𝑨𝟓𝟑=300(个)方法三(排除法)先将0排在最高位千位,再从剩下5个数中任选3个数排入,有𝑨𝟓𝟑种排法,由排除法,共有𝑨𝟔𝟒-𝑨𝟓𝟑=300(个)(2)个位和千位均为特殊位置,分步进行:先考虑个位数(𝑨𝟑𝟏种排法),再排千位(𝑨𝟒𝟏种排法),最后排十位和百位(𝑨𝟒𝟐种排法:包括0在内)所以,共有𝑨𝟑𝟏𝑨𝟒𝟏𝑨𝟒𝟐=144(个)(3)千位和个位是特殊位置,0为特殊元素,分类进行:①2,4排在个位:𝑨𝟐𝟏种排法;再排千位:𝑨𝟒𝟏种排法;最后排十位和百位:𝑷𝟒𝟐种排法,共有𝑨𝟐𝟏𝑨𝟒𝟏𝑨𝟒𝟐种排法.②0排在个位:𝑨𝟏𝟏种排法;再排十位、百位和千位:𝑨𝟓𝟑种排法;综合①②由分类计数原理共有𝑨𝟐𝟏𝑨𝟒𝟏𝑨𝟒𝟐+𝑨𝟏𝟏𝑨𝟓𝟑=156(个)【点评】解这类排列应用题,要先排特殊位置,对有限制条件的元素要分类讨论,注意分类的标准要统一,不重不漏.【分析】本题考查了排列组合的区分.【解】(1)由题意选派医生到一所学校体检没有顺序,所以属于组合问题,共有=28种不同的选派方法;(2)由题意选派医生到不同的学校体检,是有顺序的,故为排列问题,共有=56种不同的选派方法.【点评】有序排列,无序组合.【例2】(1)某医院有8名医生,现从中选派2人到一所学校进行体检,共有多少种不同的选派方法?(2)某医院有8名医生,现从中选派2人分别到一中、二中进行体检,共有多少种不同的选派方法?【分析】本题考查了组合数公式.【解】由于要求男女各半,所以分两步完成:第一步:从6名男运动员中选2人,有种选法;第二步:从5名女运动员中选2人,有种选法;由分步计数原理得,共有=15×10=150种选法.【点评】本题主要考查学生分析问题和解决问题的能力,直接从组合的定义入手,分步选出4人.【例3】从6名男运动员和5名女运动员中选出4人组成代表队,男女各半的选法有种.【答案】D一、选择题1.在3,5,7,13四个数中任取两个数:(1)做乘法,可以得出多少个不同的积?(2)做除法,可以得出多少个不同的商?下面结论正确的是()A.(1)(2)都是排列问题B.(1)(2)都是组合问题C.(1)是排列问题,(2)是组合问题D.(1)是组合问题,(2)是排列问题【同步训练】【答案】D2.在甲、乙、丙、丁四位学生中,选出两人担任正、副班长,选法共有种?()A.4B.42C.24D.𝑨𝟒𝟐【答案】D3.某天要安排语文、数学、英语、体育、计算机、心理6节课,则不同排法有()A.600种B.480种C.560种D.720种【答案】A4.5个人排成一排照相,甲必须站在中间的排法种数有种?()A.24B.48C.96D.120【答案】B5.从10名同学中选出3名代表,所有可能的不同选法种数是()A.30B.120C.240D.720【答案】C6.袋中有大小相同的红白两种球，7个红球，5个白球，从袋中任取2个球的情况有种?()A.10B.21C.66D.132【答案】D7.一个小组有6个男生，5个女生，从中选2名代表.2名代表中恰有1名男生，1名女生的选法种数有()A.10B.11C.12D.308.一个小组有3个男生，3个女生，从中选3名代表.3名代表中至少有1名女生的选法种数有()A.9B.19C.27D.81【答案】B二、填空题9.在4种蔬菜品种中选出3种分别种在3种不同土质的土地上进行试验,种植方案有种.10.某班进行新年晚会,分成8个小组,每一个小组出一个节目,晚会前想排一份节目单,节目单有种排法.11.从5名男运动员和4名女运动员中选出6人组成代表队,男女各半的选法有种.12.100件产品中有5件次品，从中任取2件，取出的2件都是次品的取法有种.2440𝑨𝟖𝟖10