拓扑学-聊城大学精品课程!

1点集拓扑学山东省精品课程XYZ()XYZ()XYZ()聊城大学数学科学学院20082拓扑学导论●拓扑学是几何学的分支，且是与欧氏几何不同的几何学分支●研究对象：一般的几何图形（拓扑空间）●中心任务：研究几何图形的一类性质即所谓的拓扑性质，但这类性质与我们在欧氏几何中研究的长度、角度、面积等不同。3平面欧氏几何的研究对象与内容●研究对象：直线和圆构成的图形●研究内容：长度、角度、面积、全等；两图形全等即经过平移、旋转、对称两图形重合；而长度、角度、面积经过上述正交变换保持不变。●结论：欧氏几何研究图形在正交变换下的不变性和不变量。4与拓扑性质相关的几个例子一笔画问题哥尼斯堡七桥问题四色问题5一笔画问题平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上不重复？例如：日，中可以一笔画出田，目不能一笔画出6日字的变形田字的变形7欧拉的结论欧拉考察了一笔画图形的结构特征。发现，凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个特点：每当你用笔画一条线进入中间的一个点时，你还必须画一条线离开这个点。否则，整个图形就不可能用一笔画出。也就是说，单独考察图中的任何一个点（除起点和终点外），它都应该与偶数条线相连；如果起点与终点重合，那么，连这个点也应该与偶数条线相连。8一笔画问题的特点该问题与线段的长短曲直、交点的准确方位、面积、体积无关。重要的是图形中点线之间的相关位置，或相互连结的情况不能变。9哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡是位于波罗的海东岸一座古老而美丽的城市，布勒格尔河的两条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大海。河心有一个小岛。河水把城市分成了４块，于是，人们建造了７座各具特色的桥，把哥尼斯堡连成一体。一天又一天，７座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都只通过一次？这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下自己的智力。可是，谁也没有找到一条这样的路线。以博学著称的大学教授们，也感到一筹莫展。七桥问题难住了哥尼斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因七桥问题而出了名。10七桥问题11欧拉的解法哥尼斯堡七桥问题引起了大数学家欧拉的兴趣。他知道，如果沿着所有可能的路线都走一次的话，一共要走5040次。就算是一天走一次，也需要13年多的时间。实际上，欧拉只用了几天的时间就解决了七桥问题。12欧拉的想法是：两岸的陆地与河中的小岛，都是桥梁的连接点，它们的大小、形状均与问题本身无关。因此，不妨把它们看作是4个点。7座桥是7条必须经过的路线，它们的长短、曲直，也与问题本身无关。因此，不妨任意画7条线来表示它们。就这样，欧拉将七桥问题抽象成了一个“一笔画”问题，从而否定了问题的答案。13对七桥问题的反思七桥问题是一个几何问题，然而，它却是一个以前欧氏几何学里没有研究过的几何问题。在以前的几何学里，不论怎样移动图形，它的大小和形状都是不变的；而欧拉在解决七桥问题时，把陆地变成了点，桥梁变成了线，而且线段的长短曲直，交点的准确方位、面积、体积等概念，都变得没有意义了。不妨把七桥画成别的什么类似的形状，照样可以得出与欧拉一样的结论。很清楚，图中什么都可以变，唯独点线之间的相关位置，或相互连结的情况不能变。14四色问题15以上几个问题显示出几何图形的一类新的几何性质。这类性质与几何图形的大小、形状以及所含线段的曲直等等都无关，他们不能用欧氏几何的方法来处理，它们的特点是：在“弹性变形”下保持不变，研究这类新问题的几何学，欧拉称之为“位置几何学”，人们通俗地把它叫做“橡皮几何学”。后来，这门数学分支被正式命名为“拓扑学”16拓扑学的中心任务•欧氏几何研究图形在正交变换下的不变性和不变量。•拓扑学研究更一般的图形在“弹性变形”下的不变性和不变量（例子）。•“弹性变形”的特点：可复原，把相近的点变成相近的点（连续）17基本概念的严格数学描述•一般图形：集合•变形：映射•弹性变形：可逆映射或一一映射•相近：邻域，开集•相近变相近：连续•图形全等：同胚•不变性：连通性，可数性，分离性等18拓扑学的近代发展•点集拓扑学•代数拓扑学•微分拓扑学•几何拓扑学•思考题：设C代表平面上的圆周，“点A位于圆周的内部”这一性质是否在“弹性变形”下保持不变？19朴素集合论20集合的基本概念A={{1},{1,2},}A={{1},{1,2},}()XP{,}Xab(){,{},{},{,}}XababP单点集{a},{1}集族幂集：X的所有子集构成的集族，记为A={{1},{1,2},}A={{1},{1,2},}()XP{,}Xab(){,{},{},{,}}XababP单点集{a},{1}集族幂集：X的所有子集构成的集族，记为A={{1},{1,2},}A={{1},{1,2},}()XP{,}Xab(){,{},{},{,}}XababP单点集{a},{1}集族幂集：X的所有子集构成的集族，记为A={{1},{1,2},}A={{1},{1,2},}()XP{,}Xab(){,{},{},{,}}XababP单点集{a},{1}集族幂集：X的所有子集构成的集族，记为21集合的基本运算幂等律,AAAAAA()()()()()()ABCACBCABCACBC,ABBAABBA分配律交换律22集合的基本运算DeMorgan律()()()ABCABAC()()()ABCABAC23集合的基本运算定理设X是一个基础集,A,B是X的子集,则有()()AAAAXXAXAAAXAAABABABAB24笛卡儿积设是个集合,称为的笛卡儿积，记作个集合X的笛卡儿积记作12,,,nXXX1n12nXXXnXXnX1n1{(,,)|}niixxxX12,,,nXXX设是个集合,称为的笛卡儿积，记作个集合X的笛卡儿积记作12,,,nXXX1n12nXXXnXXnX1n1{(,,)|}niixxxX12,,,nXXX12,,,nXXX1n12nXXXnXXnX1n1{(,,)|}niixxxX12,,,nXXX25关系与等价关系关系相关RXY关系设X，Y是两个集合.如果则称R是从X到Y的一个关系.相关设R是从X到Y的一个关系，如果（x,y）∈R,则称x与y是R相关的，记作xRyRXY关系设X，Y是两个集合.如果则称R是从X到Y的一个关系.相关设R是从X到Y的一个关系，如果（x,y）∈R,则称x与y是R相关的，记作xRy26恒同关系设X是一个集合，从X到X的关系简称为X中的一个关系，集合X中的关系{(x,x)|x∈X}称为恒同关系或对角线，记作Δ(X)或Δ.27自反的对称的若xRy则有yRx传递的如果xRy,yRz,则有xRz.(X)RxX自反的设R是集合X中的一个关系，如果即对有xRy对称的若xRy则有yRx传递的如果xRy,yRz,则有xRz(X)RxX自反的设R是集合X中的一个关系，如果即对有xRy对称的若xRy则有yRx传递的如果xRy,yRz,则有xRzxRx28等价关系集合X中的一个关系如果同时是自反的，对称的和传递的，则称为集合X中的一个等价关系.例：设p是一个素数，我们在整数集合Z中定义一个关系如下:p{(,)|suchthat-}pxyZZnZxynp29映射的性质:fXY,ABY定理设X和Y是两个集合，.如果则111111111(1)()()()(2)()()()(3)()()()fABfAfBfABfAfBfABfAfB30常用映射单射、满射、一一映射常值映射恒同映射（单位映射）投射自然投射:suchthat,()XXiXXxXixx:suchthat,()fXYxXfxc121:suchthat(,,)iniinipXXXXpxxx:suchthat()[]RpXXRpxx31定义：设X和Y是两个集合，A是X的一个子集，若对于有，则称g是f的限制，也称f是g的一个扩张，记作恒同映射在X的子集A上的限制称为内射.:,fXY:gAYaA()()faga|Agf:XiXX|:XAiAX定义：设X和Y是两个集合，A是X的一个子集，若对于有，则称g是f的限制，也称f是g的一个扩张，记作恒同映射在X的子集A上的限制称为内射.:,fXY:gAYaA()()faga|Agf:XiXX|:XAiAX定义：设X和Y是两个集合，A是X的一个子集，若对于有，则称g是f的限制，也称f是g的一个扩张，记作恒同映射在X的子集A上的限制称为内射.:,fXY:gAYaA()()faga|Agf:XiXX|:XAiAX32集族及其运算有标集族设Γ是一个集合.如果对每一个γ∈Γ，指定一个集合Aγ，我们就说给定一个有标集族{Aγ}γ∈Γ,在不至于引起混淆的前提下就直接说给定一个集族{Aγ}γ∈Γ，同时Γ称为集族的指标集.33例：{1,2,3}1{}Aa2{,}Aab3{,}Acd{}iiA是一个有标集族.,,(p,q)1qpxQx{,}xApq{}xxQA是一个有标集族.34{Aγ}γ∈Γ集族的并{Aγ}γ∈Γ集族的交注：在{Aγ}γ∈Γ集族的并中若Γ是空集，则其并为空集，在{Aγ}γ∈Γ集族的交中若Γ是空集，则其交没有意义.}使得|{AxxA}有,对任何|{AxxA{Aγ}γ∈Γ集族的并{Aγ}γ∈Γ集族的交注：在{Aγ}γ∈Γ集族的并中若Γ是空集，则其并为空集，在{Aγ}γ∈Γ集族的交中若Γ是空集，则其交没有意义.}使得|{AxxA}有,对任何|{AxxA{Aγ}γ∈Γ集族的并{Aγ}γ∈Γ集族的交注：在{Aγ}γ∈Γ集族的并中若Γ是空集，则其并为空集，在{Aγ}γ∈Γ集族的交中若Γ是空集，则其交没有意义.}使得|{AxxA}有,对任何|{AxxA{Aγ}γ∈Γ集族的并{Aγ}γ∈Γ集族的交注：在{Aγ}γ∈Γ集族的并中若Γ是空集，则其并为空集，在{Aγ}γ∈Γ集族的交中若Γ是空集，则其交没有意义.}使得|{AxxA}有,对任何|{AxxA注：在集族的并中，若Γ是空集，则其并为空集，在集族的交中，Γ不能是空集.35集族的运算性质定理：设{Aγ}γ∈Γ是一个非空的有标集族，A是一个集合，则AAA0,对于任何)1(036集族的运算性质)()()()(分配律)2(AAAAAAAA37集族的运算性质)()()()(律MorganDe)3(AAAAAAAA38映射与集族的性质定理：设X和Y是两个集合，则对于集合Y的任何一个非空子集族{Bγ}γ∈Γ,有1111()()()()fBfBfBfB:.fXY定理：设X和Y是两个集合，则对于集合Y的任何一个非空子集族{Bγ}γ∈Γ,有1111()()()()fBfBfBfB:.fXY