纠错编码的基本原理

纠错编码的基本原理1、基本概念•为了方便对差错编码原理进行叙述，下面先介绍一些基本术语。•信息码元——指进行差错编码前送入的原始信息编码。•监督码元——指经过差错编码后在信息码元基础上增加的冗余码元。•码字（组）——由信息码元和监督码元组成的，具有一定长度的编码组合。•码集——不同信息码元经差错编码后形成的多个码字组成的集合。•码重——码字的重量，即一个码字中“1”码的个数。通常用W表示。•例如：码字10011000的码重W=3，而码字00000000的码重W=0。同理：1001111001，1100110111•码距——所谓码元距离就是两个码组中对应码位上码元不同的个数（也称汉明距）。码距反映的是码组之间的差异程度，比如，00和01两组码的码距为1；011和100的码距为3。11000与10011之间的距离d=3。码字10011001和11110101之间的码距为4。•最小码距——码集中所有码字之间码距的最小值即称为最小码距，用表示。•例如：若码集包含的码字有10010，00011，和11000，则各码字两两之间的码距分别如下：0mindd或•10010和00011之间•10010和11000之间•00011和11000之间•因此该码集的最小码距为2，即。000、001、110三个码组相比较，码距有1和2两个值最小码距是码的一个重要参数，它是衡量码检错、纠错能力的依据。2mind1mind2.分组码分组码一般可用(n,k)表示。其中，k是每组二进制信息码元的数目，n是编码码组的码元总位数，又称为码组长度，简称码长。n-k=r为每个码组中的监督码元数目。简单地说，分组码是对每段k位长的信息组以一定的规则增加r个监督元，组成长为n的码字。在二进制情况下，共有2k个不同的信息组，相应地可得到2k个不同的码字，称为许用码组。其余2n-2k个码字未被选用，称为禁用码组。（7，4）（9，5）krn3、编码纠检错能力与最小码距之间的关系•数字通信系统中送入信道的信息都是“0”“1”组合的数字信号，例如：待传送的信息是“晴”和“雨”，则只需一位数字编码就可以表示。若用“1”表示“晴”，“0”表示“雨”。当“0”“1”形式的信息在信道中传输时将0错成1或将1错成0时，由于发生差错后的信息编码状态是发送端可能出现的状态，因此接收端无法发现差错。•但是如果发送信息送进信道之前，在每个编码之后附加一位冗余码，变成用两位编码“11“表示”晴“，“00”表示“雨”，则在传输过程中由于干扰造成信息编码中一位码发生差错，错成“10”（或“01”）时，由于“10”或“01”都是发送端不可能出现的编码，接收端就能发现差错，但此时并不能判断出差错是第一比特还是第二比特，因此不能自动纠错•许用码组00•11•禁用码组10•01•若继续增加冗余码位数，用“111”表示“晴”，“000”表示“雨”，当编码在传输中出现1位或2位码差错（如错成001或101等编码）时，接收端都能检测到，并能确定只有1位码差错时错误码位的位置，此时这种编码方式可以检测1位或2位差错，并能纠正单个的误码。•许用码组：000，111•禁用码组：001010011100101110••由上例的分析可见，冗余码位数增加后，编码的抗干扰能力增强。这主要是因为冗余码位数增加后，发送端使用的码集中，码字之间最小码距增大。由于反映了码集中每两个码字之间的差别程度，如果越大，从一个编码错成另一个编码的可能性越小，则其检错、纠错能力也就越强。因此最小码距是衡量差错控制编码纠、检错能力大小的标志。一般情况下，差错编码的纠错能力及检错能力与最小码距之间的关系如下：mindmindmind4.检错和纠错能力码的最小距离d0直接关系着码的检错和纠错能力；任一(n,k)分组码，若要在码字内:(1)检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥e+1;A0123BA0123………………eBABBA0•(2)纠正t个随机错误，则要求码的最小距离d0≥2t+1;••2345•tt•2t12t1(3)纠正t个同时检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥t+e+1。(e≥t)•例如：d0=3，或者4，或者5••t1eAB检1位纠1位检出2位，纠正1位检2纠2•例：已知四个码组为（110001000）•（100010111）•（000101111）•（001011110）•若将此码用于检错最多可以检出多少位错吗？若用于纠错，最多纠正几位？若同时用于检错和纠错，能检出几位，纠正几位？3.用差错控制编码提高通信系统的可靠性，是以降低有效性为代价换来的。我们定义编码效率R来衡量有效性:R=k/n其中,k是信息元的个数，n为码长。对纠错码的基本要求是:检错和纠错能力尽量强；编码效率尽量高；编码规律尽量简单。实际中要根据具体指标要求，保证有一定纠、检错能力和编码效率，并且易于实现。4.2常用的几种简单分组码1、奇偶监督码是一种最简单的差错编码又称奇偶检验码。编码方法：奇偶监督码是在原信息码后面附加一个监督元，使得该码字中连同监督码在内的“1”的个数为奇数（称为奇校验）或偶数（称为偶校验）。或者说，它是含一个监督元，码重为奇数或偶数的(n,n-1)系统分组码。•例如：对码组01101001进行偶校验的监督码位为0，对码组10100000进行奇校验的监督码为1。•设是同一码组内各位码元，是监督码元，其余码位都是信息码元，则偶校验时应满足021,.......,,aaann0a接收端译码时，对各码元进行模二加运算，其结果为0（偶监督码）如果传输过程中码组任何一位发生了错误，则收到的码组不满足偶检验关系，因此就能发现错误。偶监督码的编码规则可以用公式表示（设码组长度为n，表示为）监督码元a0的取值（0或1）可由下式决定0021aaann021,.......,,aaann1210aaaann•对于奇校验码必须保证•因此式中的监督码可以用下式求出•奇偶监督码的编码效率R为(1)/Rnn=-1021aaann012311nnnaaaaa•在接收端按照相同的规律进行检测，若检测到与规律不符，则说明传输中有差错产生，奇偶监督码的检错能力为只能检出奇数位差错，不能检测出偶数位差错，也不能判断出差错的具体码元，故奇偶检验码只有一定检错能力而不具备纠错能力。但利用奇偶检验码检测单个差错的效果还是令人满意的，因此在计算机数据传输及SDH传输技术中得到广泛的应用。10100010有错11100110有错10100110不能确定101100102、二维奇偶监督码•又行列奇偶校验码或者水平垂直奇偶校验码，还称作方阵码，它是将若干信息码字按照每个码字一行排列成若干行，使每个码字中相同的码位均对齐在同一列中，形成矩阵形式。然后对每一行和每一列的码元均进行奇校验或偶校验，并将校验结果附加在每一行及每一列码元之后。例如：对6个ASCII信息码进行行列奇偶校验的结果如下：方阵码不但能检测出某一行某一列所有奇数个错误,有时还能检测出某偶数个错误信息码元监督码元信息码元监督码元10110001101100011101001011010010001001110110111101101100011011001001100110011001监督码元1011000110110001适用于检测突发错误,能纠错:码组中存在仅一行中有奇数个错误时,能够确定错码的位置行列奇偶监督码不但能检测出某一行或某一列的所有奇数个错误，有时还能检测出某些偶数个错误。•但对于以矩阵形式出现的偶数位差错，行列奇偶校验码是检测不出来的。此外，通过水平和垂直两个方向上的校验，它能够确定某一行或列中出现的单个差错码位置，因此行列奇偶校验码具有对单个差错的纠错能力。（3）恒比码(等重码)恒比码的编码原则是从确定码长的码组中挑选那些“1”和“0”个数的比值一样的码组作为许用码组。这种码通过计算接收码组中“1”的数目是否正确，就可检测出有无错误。五单位数字保护电码码字长度为5，只选用码字中含有三个“1”和两个“0”的码字作为许用码字来表示10个阿拉伯数字1，2，…，9，0，这种码亦称“5中取3码”。中文电报编码首先将每一个单字编码为四位十进制数字，再将每一位十进制数字用二进制的五单位数字保护码表示。通信663902071010110101101101001101101110010110111100国际电报通信中广泛采用的是“7中取3码”，许用码字共有个，可分别表示26个字母和其它的一些符号。数字数字保护电码123456789001011110011011011010001111010111100011101001101101•4、正反码•编码的监督位数目与信息位数目相同，监督码是信息码的重复还是反码，由信息码中1的个数而定。例：1011010110（重复）0011011001（反码）译码：接收码组中信息位和监督位按位模2相加若接收码组的信息位中有奇数个1，则合成的码组为检验码组若接收码组的信息位中有偶数个1，则合成的码组的反码为检验码组重复奇数个反码偶数个11•检验码组全为0，无错码•有4个1，1个0则信息码组中有一位错码，其位置对应检验码组中0的位置•有4个0，1个1则监督码中有一位错码，其位置对应检验码组中1的位置•例：10010（收到码组为1001010110）•10110•0010011011•00110•01001•0111110000•其他组合，错码多于一个•检纠错能力：长度为10的正反码有纠正一位错码的能力，并能检测出全部两位以下的错误，和大部分两位以上的错误。•编码效率：5/10=1/2•5、群计数码•群计数码是将信息码元分组后，计算每组码元中1的个数，然后将这个数目的二进制表示为监督码元，一起送往发送端。•例：一组8位的信息码元为10111001，其中1的个数为5个，于是将101作为监督码元。这样传输的码组为10111001101•收端只要检测监督码元所标示的1的各属于信息码元的1的树木是否相同来判断传输过程中有无错误。特点：群计数码的检错能力很强，它可以检测除1变0和0变1成对出现的错误以外的其他形式的错误。