软件工程硕士数学辅导XXXX

1高等数学软件工程硕士辅导基本概念与练习一、求函数极限1．极限定义：设)(xf在点0x的某去心邻域内有定义，A为常数，如果对于任意给定的正数0，总存在0，当||00xx，有|)(|Axf，称)(xf在x趋于0x时有极限，并称A为)(xf在0xx的极限。记做Axfxx)(lim0。2．Axfxx)(lim0的充要条件：AxfxfAxfxx)()()(lim0003．求极限的方法（1）若)(xf在0x连续，则)()(lim00xfxfxx（2）“00”型1）等价代换：当0x时1~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~xexxxxxx2~cos12xx2）洛必达法则：)()(lim)()(lim00xgxfxgxfxxxx（3）“1”xgxf)(1）利用重要极限))11(lim()1(lim10exexxxxx2）化为“00”型（4）有界量与无穷小乘积仍是无穷小。（5）利用泰勒公式：掌握)1ln(x和xe在x=0点的泰勒展开求极限。)(!)0(!3)0(!2)0()0()0()(32nnnxoxnfxfxfxffxf)1ln(xnnnxonxxxxx143214322)(!!3!2132nnxxonxxxxe二、无穷小的比较极限为零的变量。0)(lim0xfxx，称)(xf在0xx时为无穷小设)(),(xgxf在0xx时为无穷小，则如果0)()(limxfxg，就说)(xg是比)(xf高阶的无穷小，记作))(()(xfoxg；如果)()(limxfxg，就说)(xg是比)(xf低阶的无穷小；如果0)()(limcxfxg，就说)(xg与)(xf同阶的无穷小；如果1)()(limxfxg，就说)(xg与)(xf是等价的无穷小，记作)(~)(xgxf。如果0',0',0,0，且'~,'~，则''lim'lim'limlim三、连续（注意不讨论间断点及其类型）1．定义：如果)()(lim00xfxfxx那么就称函数)(xfy在点0x连续。0lim0yx2．主要条件：)(lim)()(lim000xfxfxfxxxx（由此可求两个参数）四、导数与微分1．导数定义：)(0xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000，hxfhxfxfh)()(lim)(0000和000)()(lim)(0xxxfxfxfxx32．充要条件：)()(00xfxfhxfhxfxfh)()(lim)(00003．必要条件：可导必连续4．几何意义：切线斜率.切线方程))((000xxxfyy5．微分：dxxfdy)(，dxxfdyxx)(00)()(0xoxxfy题型求分段函数在分段点的导数使用定义，其他点使用公式五．导数计算1．初等函数求导公式（16个求导公式，5个求导法则）导数公式微分公式1)(xxdxxxd1)(xxcos)(sinxdxxdcos)(sinxxsin)(cosxdxxdsin)(cosxx2sec)(tanxdxxd2sec)(tanxx2csc)(cotxdxxd2csc)(cotxxxtansec)(secxdxxxdtansec)(secxxxcotcsc)(cscxdxxxdcotcsc)(cscaaaxxln)(adxaadxxln)(xxee)(dxeedxx)(axxaln1)(logdxaxxdaln1)(logxx1)(lndxxxd1)(ln211)(arcsinxxdxxxd211)(arcsin211)(arccosxxdxxxd211)(arccos211)(arctanxxdxxxd211)(arctan4211)cot(xxarcdxxxarcd211)cot(（1）)()(])()([xvxuxvxu（2）)()()()(])()([xvxuxvxuxvxu，)(])([xucxcu（3）。)0)(()()()()()()()(2xvxvxvxuxvxuxvxu)0)(()()()(2xvxvxvcxvc(4)复合函数导数)]([),(),(xgfyxguufy，u称为中间变量，dxdududydxdy２．)()(tytx参数方程求二阶导数dtdxdtdydxdydtdxdtyddxyddxyd22，)()(tytx)()()()()(322tttttdxyd３．隐函数求二阶导数：F(x,y)=0)(xyy,方程两边对x求导，y的函数看成x的复合函数4.几分上限函数求导)()()(xfdttfdttfdxdxaxa)())(()())(()()()(xxfxxfdttfdxdxx六、函数不等式的证明1．方法：利用最值，单调性和拉格朗日中值定理证不等式单调性：单调升：)()(21xfxf，当21xx时单调降：)()(21xfxf，当21xx时0f，f单调升，0f，f单调降利用单调性证不等式，证)()(xgxf，)()()(xgxfxh，0)(0xh拉格朗日中值定理：)(xf在],[ba连续，在),(ba可微，则有))(()()(abfafbf落在ba,之间。52．求导时最多到二阶七、求函数最值邻域：),(),(000xxxu，极值：当)()(),,(00xfxfxux或者)()(0xfxf称)(0xf为极大值（极小值），极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点成为极值点定理：如果)(xf在0x可导，并且取得极值，则0)(0xf导数为零的点称为驻点。判别极值一个是利用单调性，一个是利用二阶导数，定理：0)(0xf，0)(0xf极小值，反之是极大值。求最值：求出不可导点及驻点，计算这些点的函数值及边界点的函数值，找这里最大的就是最大值，最小的就是最小值。如果是实际问题，并且只有一个驻点，这个驻点就是所求的最值点。八、不定积分1．原函数：在区间I上，若)()(xfxF，称)(xF为)(xf的一个原函数。2．不定积分：在区间I上，)(xf的原函数的全体称为)(xf的不定积分，记为cxFdxxf)()(3．掌握下列基本公式①kCkxkdx(是常数)②)1(11Cxdxx③Cxxdx||ln,④Caadxaxxln⑤Cedxexx⑥Cxxdxsincos⑦Cxxdxcossin⑧Cxxdxxdxtanseccos22⑨Cxxdxxdxcotcscsin22⑩Cxxdxxsectansec(11)Cxxdxxcsccotcsc(12)Cxxdxarcsin126(13)Cxxdxarctan124．凑分法：)()()()]([xuduufdxxxf掌握下列常用凑分法（1）)()(1)(baxdbaxfadxbaxf（2）)()(1)(1baxdbaxfnadxbaxfxnnnn（3）xxxxdeefdxefe)()(（4）xdxfdxxxfsin)(sin)(sincos（5）xdxfdxxxfcos)(cos)(cossin5．换元法)(1)()]([)(xtdtttfdxxf掌握：含nbax时，令nbaxt含22xa时令taxsin6．分布积分法：vduuvudvvdxuuvdxvu掌握（1）cexedxexexdedxxexxxxxx（2）cxxxxdxxxxxdxdxxcossinsinsinsincos（3）cxxxxdxxxxxdxdxx4ln221ln22lnln2222（4）dxxxxxxxdxdxx2222121arctan22arctanarctancxxxx)arctan(21arctan22cxexexdxexexexdexexdxexexdexdxexxxxxxxxxxx)cossin(21coscossincossinsinsinsincos)5(一般如果被积函数是多项式与指数函数或者三角函数乘积，选多项式为u指数函数或者三角函数为v；如果被积函数是多项式与对数函数或者反三角函数乘积，选多项式为v对数函数或者反三角函数为u；九、定积分1．牛顿-莱布尼茨公式)()()()(aFbFxFdxxfbaba72．几何意义：曲边梯形面积3．定积分换元法dtttfbatxdxxfba)())(()(),(),()(4．定积分的分部积分法：bababavduuvudv][.1,3254231,22143231cossin.52020的正奇数为大于为正偶数nnnnnnnnnnxdxxdxInnn6．（1）若)(xf在],[aa上连续且为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(（2）若)(xf在],[aa上连续且为奇函数，则0)(aadxxf7．周期函数的积分，)()(xfTxf220220)()()()2()()()()1(TTTnTaaTTTTaadxxfndxxfndxxfdxxfdxxfdxxf8．绝对值函数的积分：去掉绝对值，令)(xf=0，找出是)(xf=0的x9．面积（与x为积分变量），体积（绕x轴旋转的旋转体的体积）1）面积一个函数且0)(xf，badxxfS)(二个函数且)()(xgxfbadxxfxgS))()((不知道大小badxxfxgS|)()(|2）体积：babaxdxydxxfV22)(dcydyyxV)(2，baydxxxfV)(2十、微分方程1．可分离变量微分方程的通解与特解。标准型：)()(yhxgdxdyy解法：cdxxgyhdy)()(2．一阶线性微分方程通解与特解，标准型)()(xQyxPy8通解：))(()()(cdxexQeydxxPdxxP3．二阶常系数线性齐次方程通解。标准型0qyypy，其中qp,常数。解法：特征方程：02qprr，特征根2422,1qppr通解irxcxcerrexccrrececxYxxrxrxr2,12121212121,)sincos(,),)(121实根（实根4．二阶常系数线性非齐次方程通解。标准型xmexPqyypy)(，其中,,qp常数mmmxaxaaxP10)(，0ma解法：通解)()()(*xyxYxy，其中)(xY为对应齐次方程通解，)(*xy为本身的特解。xmkexQxxy)()(*，其中21221,2,1,0rrrrrrk且当或当且当，mmmxbxbbxQ10)(十一、向量与空间解析几何（不单独出题，与多元微分学结合出题）1．向量：既有大小又有方向的量（1）表示法