模糊数学--大连海事大学--于东老师-复习

模糊数学2011年5月模糊数学复习1.模糊集合概念，运算2.模糊集合的截集，模糊集合的模糊度3.模糊模式识别4.模糊聚类分析5.模糊综合评判模糊集合的概念运算1模糊集合定义设在论域U上给定一个映射则称A为U上的模糊子集2模糊集合表示法)(]10[uAuUA，：模糊集表示法u123456A(u)00.20.810.80.2(1)Zadeh法：62.058.04138.022.062.058.04138.022.010A(2)序偶法：)}2.0,6(),8.0,5(),1,4(),8.0,3(),2.0,2(),0,1{(A或舍弃隶属度为0的项,)}2.0,6(),8.0,5(),1,4(),8.0,3(),2.0,2{(A(3)向量法：A=(0,0.2,0.8,1,0.8,0.2)•1.设一足球队某些队员论域:U={u1,u2,…,u8},有模糊子集“高”(A)和“体能好”(B)，其中，•则(1)AB,AB和AC有什么意义？•(2)试计算AB,AB和AC（3）计算A0.8和B0.88•2.指出(1)正规模糊子集，并指出其核，(2)凸模糊子集。123456780.90.810.60.70.80.90.9Auuuuuuuu123456780.80.90.80.90.90.90.70.8Buuuuuuuu设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数如下。试计算AB、AB、BC，SuppA，KerA。其它,0]3,2[,3]2,1[,1)(xxxxxA2,[2,3]()4,[3,4]0,xxBxxx其它模糊集合运算设A、BF(U),分别称运算AB、AB为A与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。它们的隶属函数分别为：()()()()max((),())ABuAuBuAuBu()()()()min((),())ABuAuBuAuBu()1()cAuAu模糊集合的截集、模糊度设AF(U),[0,1],分别定义则称A为A的一个—截集，称为A的一个—强截集。A的支撑集，SuppA={u|uU,A(u)0}A的核KerA:KerA={u|uU,A(u)=1}})(,{uAUuuA})(,{uAUuuAA模糊度：(1)海明(Haming)模糊度：当p=1时，记为(2)欧几里得(Euclid)模糊度：当p=2时,记为(3)明可夫斯基(Minkowski)模糊度：记为niiiuAuAnAd11|)()(|2)(212112212)|)()(|(2)(21niiiuAuAnAdpnipiippuAuAnAd111)|)()(|(2)(21例给定模糊集（1）求A的—截集（2）计算它们的海明模糊度和欧几里得模糊度。00.1,A={a,b,c,d}0.10.8,A={a,b,d}0.80.9,A={b}0.91,A=dcbaBdcbaA03.003.08.01.09.08.0解因为dcbaBdcbaA0000,10112121112()(|0.81||0.91||0.10||0.81|)0.342()(|0.30||00||0.30||00|)0.34dAdB122222212222222()[(0.81)(0.91)(0.10)(0.81)]0.31642()[(0.30)(00)(0.30)(00)]0.4254dAdB模糊模式识别设A,BF(U),则称是模糊集A,B的贴近度，叫做A,B的格贴近度当U为有限论域时当U为无限论域时，)()()(ccBABABAN，))()((1iiniuBuABA))()((uBuABAUuac=1a最大隶属原则：设AiF(U)(i=1,2,…,n)为n个标准模式，对u0U是待识别对象，若存在i，使则认为u0相对地隶属于Ai择近原则：设AiF(U)(i=1,2,…,n)为n个标准模式，BF(U)为待识别的对象，若存在i，使则认为B与Ai最贴近，即判B为Ai一类)(,),(),(max)(002010uAuAuAuAniccccccBABABABA)(,)())()((uBuABAUu12(,)max(,),(,),,(,)inNABNABNABNAB例现有茶叶等级标准样品五种：I,II,III,IV,V及待识别的茶叶模型A，确定A的型号。解取反映茶叶质量的因素集为论域U，U={条索、色泽、净度、汤色、香气、滋味}假定U上的模糊集为：I=（0.5,0.4,0.3,0.6,0.5,0.4）II=（0.3,0.2,0.2,0.1,0.2,0.2）III=（0.2,0.2,0.2,0.1,0.1,0.2）IV=（0,0.1,0.2,0.1,0.1,0.1）V=（0,0.1,0.1,0.10.1,0.1）A=（0.4,0.2,0.1,0.4,0.5,0.6）同理N(A,II)=0.3，N(A,III)=0.2，N(A,IV)=0.2，N(A,V)=0.1，由择近原则，A为I型茶叶。6611[(()())][(()())]cciiiiiiAuuAuuⅠⅠ(,)()()ccNAAAⅠⅠⅠ0.50.70.5模糊聚类分析平方法求传递闭包t(R)：RR2R4R8R16…16.05.04.05.06.015.04.05.05.05.014.08.04.04.04.014.05.05.08.04.01R矩阵合成例设X={1,2,3,4}，Y={a,b,c}，Z={,}，XY及YZ上的模糊关系R与S分别用模糊矩阵表示为：3.04.0000.10000.105.07.0R9.000.108.06.0S9.000.108.06.03.04.0000.10000.105.07.0SRT例设U={u1,u2,u3,u4,u5}16.05.04.05.06.015.04.05.05.05.014.08.04.04.04.014.05.05.08.04.01RRRRR16.05.04.05.06.015.04.05.05.05.014.08.04.04.04.014.05.05.08.04.012R具有传递性。故R是模糊等价矩阵。再令由1降至0，写出R，按R分类。元素ui与uj归为同一类的充要条件是R(ui,uj)=1。10000010000010000010000011RU54321,,,,uuuuu将分成五类：10000010000010100010001018.0RU54231,,,,uuuuu将分成四类：11000110000010100010001016.0R将13245,,,,uuuuu分成三类：U11101111011110100010111015.0RU25431,,,,uuuuu将分成二类：11111111111111111111111114.0RU54321,,,,uuuuu将分成一类：从以上分类可以看到：当00.4时,将U分为一类{u1,u2,u3,u4,u5}当0.40.5时，将分成两类：{u1,u3,u4,u5}{u2}当0.50.6时，将分成三类：{u1,u3},{u2},{u4,u5}当0.60.8时，将分成四类：{u1,u3},{u2},{u4},{u5}当0.81时，将分成五类：{u1},{u2},{u3},{u4},{u5}见聚类图(图4.3)：图4.3聚类图模糊综合评判数学模型步骤：（1）建立因素集U={u1,u2,,un}，影响评判对象的各种因素组成的集合。在选取时，要注意其各个因素确实能从各个侧面描述评判对象的属性，同时要注意抓住主要因素；（2）建立评判集V={v1,v2,,vm}，评判集是评判者对评判对象可能作出的各种总的评判结果所组成的集合V={很受欢迎,比较欢迎,不太欢迎,不欢迎}模糊综合评判（3）单因素模糊评判单独从一个因素进行评判,以确定评判对象对评判集元素的隶属度,称为单因素模糊评判。f:UF(V)，ui|f(ui)=（ri1,ri2,,rim）F(V)将各单因素评判集的隶属度行组成矩阵,称之为单因素评判矩阵。nmnnmmrrrrrrrrrR211222111211（4）建立权重集A={a1,a2,,an}一般而言，各个因素的重要程度是不一样的。为了反映各因素的重要程度，对各个因素ui赋予相应的权数ai，它们可视为各因素对“重要”的隶属度。因此,权重集A是因素集上的模糊子集。确定影响因素权重的方法主要有德尔斐法(也称专家评议法)、频数统计分析法、专家调查法和层次分析法(AHP)等0,11iniiaa（5）模糊综合评F(V)式中，“”表示某种合成运算；B称为模糊综合评判集；bj称为模糊综合评判指标。bj的含义为综合考虑所有因素影响时，评判对象对判断集中第j个元素的隶属度。显然，模糊综合评判集B为判断集V上的模糊集BAR1112121222121212,,,,,,mmnmnnnmBARrrrrrraaabbbrrr合成运算的选择模型IM(,),即在此模型中，单因素ui的评价对决择等级vj的隶属度rij被调整为在考虑多因素时，因素ui的评价对各决择等级vj的隶属度都不能大于ai。“主因素决定型”，适合于单项评判最优就能算作综合评判最优的情况1(),1,2,,njiijibarjmmin{,}1,2,,ijiijiijrararjm模型IIM(·,+),即此模型中，用对rij乘一小于1的系数来代替给rij规定一个上限，这里ai也起着调整系数的作用。在决定各因素的评判对等级vj的隶属度时，考虑了所有因素ui的影响，而不是只考虑对bj影响程度最大的那个因素。由于同时考虑到所有因素的影响，所以各ai的大小具有刻划各因素重要程度的权系数的意义“加权平均型”依权重的大小它对所有因素均衡兼顾，比较适合与要求总和最大的情形。1,1,2,,njiijibarjm11niia例以服装评判为例，设U={花色式样，耐穿程度，价格费用}V={很欢迎，比较欢迎，不太欢迎，不欢迎}对某一服装，请若干专门人员进行单因素评价。单考虑花色式样，若有70%的人很欢迎，20%的人比较欢迎，10%的人不太欢迎，便可得出花色式样|（0.7，0.2，0.1，0）类似耐穿程度|（0.2，0.3，0.4，0.1）价格费用|（0.3，0.4，0.2，0.1）所有单因素评判组成的评判矩阵不同的顾客，由于职业、性别、年龄、爱好、经济状况等不同，对服装的三个要素所给予的权数也不同。设某类顾客所给的权重为A=(0.5,0.3,0.2)则可求得此类顾客对这种服装的综合评判为0.70.20.100.20.30.40.10.30.40.20.1R(0.47,0.27,0.21,0.05)BAR谢谢