简单复合函数的求导法则

简单复合函数的求导法则18:45:28知识回顾Title函数导函数xeyaxyln11xyxycos是常数）ccy(xy1xeyxycosaayxlnxy2sin1xyln为实数）(xyxytan0yxysinxysin(0,1)xyaaaxycotlog(0,1)xyaaaxy2cos11、导数公式表18:45:282.导数的四则运算法则：设函数u(x)、v(x)是x的可导函数,则1)(()())''()'()uxvxuxvx2)(()())''()()()'()uxvxuxvxuxvx推论：[c·f(x)]’=cf’(x)2()'()()()'()3)()()uxuxvxuxvxvxvx18:45:2822111.(),'yxxyxx求；2.sincos,'22xxyxy求；3.cos(),'yxxy求；14.,'sinyyx求；课前练习：221'2yxx1'1cos2yx'cossin2xyxxxx2cos'sinxyx18:45:281.复合函数的概念:(()),(),()()(())yfxuxyfuuuxxyfx对于函数令若是中间变量的函数，是自变量的函数，则称是复自变量x的合函数.二、讲授新课：18:45:28指出下列函数是怎样复合而成：2(1)sin2(2)31(3)cos(sin)(4)()1(5)sin(1).nmyxyxxyxyabxyx；；；；练习1sin,2yuux2,31yuuxx,.mnyuuabxcos,sinyuux1sin,1yuux18:45:2818:45:28.复合而成与由2uy23xu其实，是一个复合函数，2)23(xy问题：的导数？如何求2)23(xy'yxy'2[(32)]'x'24129xx1218x;xu3uyu2;46x分析三个函数解析式以及导数之间的关系:',,xxuyuyxuxuyyy''①②定理设函数y=f(u)，u=(x)均可导，则复合函数y=f((x))也可导.且()()xyfux，xuxuyy或复合函数的求导法则即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)注意：1、法则可以推广到两个以上的中间变量；2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.xuuyxyxx00limlimxuuyxx00limlim，xuxuuyxuuy00limlim.xuxuyy即证设变量x有增量x，.0lim0ux所以由于u可导，相应地变量u有增量u，从而y有增量y.例1：求xy2sin的导数分析：解1：(sin2)(2sincos)yxxxx)sinsincos(cos2xxxx解2：xy2sin可由y=sinu,u=2x复合而成2,cosxuuuyxuuyxy=2cos2xxuxuuy2cos2cos2.x2cos2xxxx2cos)2(sincos)(sin?练习2设y=(2x+1)5，求y.解把2x+1看成中间变量u，y=u5，u=2x+1复合而成，,5)(45uuyu.2)12(xux所以.)12(102544xuuyyxux将y=(2x+1)5看成是由由于例2设y=sin2x，求y.解这个函数可以看成是y=sinx·sinx,可利用乘法的导数公式，将y=sin2x看成是由y=u2，u=sinx复合而成.而,2)(2uuyu.cos)(sinxxux所以.cossin2cos2xxxuuyyxux这里，我们用复合函数求导法.求y.,12xy设解将中间变量u=1-x2记在脑子中.211().22(1)uyuux也在心中运算这样可以直接写出下式221(1)2(1)xxyxx.12xx例3练习3：设f(x)=sinx2，求f(x).解22()cos()xfxxx22cosxx作业课本P51页习题2-5第1,2题【解析】103311(25)(2)sinsin1yxyxxx求下列函数的导数（）例解：(2)y′=(sin3x+sinx3)′=(sin3x)′+(sinx3)′=3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′=3sin2xcosx+3x2cosx3.103311(25)(2)sinsin1yxyxxx求下列函数的导数（）例【解析】233(31)142yx求曲线在点（，）处的例切线方程。自学课本：P50，例3复习检测复习检测复习检测复习检测18:45:28作业课本P51页习题2-5第3,5题