2.3.2平面与平面垂直的判定定理(高中数学人教版必修二)

2.3.2平面与平面垂直的判定定理1.在平面几何中角是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。复习回顾2.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a'//a，b'//b，我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角.3.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.范围：(0o,90o]．范围：[0o,90o]．空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？(1)半平面的定义一、二面角的概念平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．l半平面半平面(2)二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．l棱面面①平卧式：②直立式：llAB(3)二面角的画法和记法：面1－棱－面2点1－棱－点2二面角－l－二面角－AB－二面角C－AB－DABCD直立式3、举出二面角的实例，并画出二面角。平卧式二面角画法由上可知：各二面角的“张角”不同，那么如何度量二面角的大小呢？AOlB(4)二面角的平面角A'B'O'以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图，，则∠AOB成为二面角的平面角.它的大小与点O的选取无关.,OAlOBll二面角的平面角必须满足：③角的边都要垂直于二面角的棱①角的顶点在棱上②角的两边分别在两个面内10质疑二:在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么∠AOB的大小与点O在棱上的位置有关系吗？OAOB==BOA等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。）lABA’B’二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。结论：二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。O.二面角的取值范围一般规定为：[0o,180o]lOAB[0。，180。](4)二面角的平面角二面角的范围为：注1：①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°；②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直.OAB①定义法②垂线法③作棱的垂面法一个平面垂直于二面角-l-的棱l，且与两半平面的交线分别是射线OA、OB，O为垂足，则∠AOB为二面角-l-的平面角．(5)二面角的平面角的作法：OABllOAB,,ABABAAOl过作,OBOBl连接则oABll补充练习：指出下列各图中的二面角的平面角：BACDA’AB’C’CD’DB二面角B--B’C--AOEO二面角A--BC--D14正方体A’C中（定义法）（垂线法）例1在正方体AC1中，E为BC中点，AB1C1DA1BCD1FAB1C1DA1BCD1EGH（1）（2）O1、求二面角A—B1C—B的正弦值;2、求二面角E—B1D1—C1的正切值。例2：正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小为_____，二面角B-AA1-D的大小为______，二面角C1-BD-C的正切值是_______.245°90°练习A.O解：则AD⊥l.∵sin∠ADO=432∴∠ADO=60°.即二面角－l－的大小为60°.在Rt△ADO中，AOAD练1：已知二面角－l－，A为面内一点，A到的距离为，到l的距离为4.求二面角－l－的大小.lD过A作AO⊥于O，过O作OD⊥l于D，连AD，23,4AOAD且ADO就是二面角－l－的平面角.23back练在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB，它与棱l所成的角为45°，与平面β所成的角为30°，则这个二面角的大小是________________.45°或135°2：如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB的中点，求二面角A1－MC－A的正切值．ABCDMA1B1C1D1NH思路分析：①找基面②找基面的垂线AA1③作平面角作AH⊥CM交CM的延长线于H，连结A1H平面ABCD解：作AH⊥CM交CM的延长线于H，连结A1H．∵A1A⊥平面AC，AH是A1H在平面AC内的射影，∴A1H⊥CM，∴∠A1HA为二面角A1－CM－A的平面角．设正方体的棱长为1．∵M是AB的中点，且AM∥CD，则在直角△AMN中，AM=0.5，AN=1，MN=．15AMANAHMN5211tan5AAAHAAHbackCDHG6003003：如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?解:因为CDG是坡面,设DH是地平面的垂线段,DH就是所求的高度.作HG⊥AB,垂足为G,那么DG⊥AB,∠DGH就是坡面和地平面所成的二面角的平面角,所以∠DGH=060.又CD与AB所成角为∠DCG=030.060sinDGDH)(3.4332560sin30sin10060sin30sin0000mCD答:沿这条路向上走100米,升高约43.3米.AB练习一、计算二面角的关键是作出二面角的平面角，其作法主要有：(1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂线所成的角为二面角的平面角．(2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的交线所成的角是二面角的平面角．二、求二面角的思路是“一作、二证、三算”．如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？二、平面与平面垂直的判定文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直aa面面垂直的判定定理符号语言：aAB图形语言：该定理作用：“线面垂直面面垂直”应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线..aa已知：，求证：证明：αβCDABE在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角，设α∩β=CD，AB在α上，则B∈CD.∪∵AB⊥β，CDβ，∴AB⊥CD.∪∵AB⊥β，BEβ，∴AB⊥BE.∴二面角α-CD-β是直二面角，∴α⊥β.abackABCPO证明：由AB是圆O的直径，可得AC⊥BCPAABCBCABC平面平面BCPAC平面PABCBCACPAACABCPBC平面平面PAC⊥平面PBC例1:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点.求证：平面PAC⊥平面PBC练习例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。证明：。平面PBD平面PACBDC正方形ABCD中，ABDPA平面ABCDBD平面ABCDPA平面PACBD平面PBDBDABDPCO例3：ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点，求证：(1)PC⊥平面BDE；(2)平面PAC⊥BDE.POABCDEBCDA垂直，为什么？你能发现哪些平面互相平面如图，已知,,CDBCBCDAB2.如图所示：在Rt△ABC中，∠ABC=900,P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？PABCPAABCPABABCPAPAB面面面面PAABCPACABCPAPAC面面面面CBPABPBCPABCBPBC面面面面PABCABCDA1B1C1D1作业1：正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：111ACCAABD平面平面ABCDE90ABCDABADABCADCEBDAECABD练如图，是所在平面外一点，，，是的中点.求证：平面平面2：1.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G-SEF，则四面体S—EFG中必有().(A)SG⊥△EFG所在平面(B)SD⊥△EFG所在平面(C)GF⊥△SEF所在平面(D)GD⊥△SEF所在平面SG1G2G3EFDSG1G2G3EFDSG⊥△EFG所在平面.故选A.ACEPEPEABC.法二:取的中点，连接，往证面BCFEFPFEF//AB,EFBC取的中点，连接，，则PABC,EACPEACPAPB点为的中点，.EPEBC,.接下来往证一般转化为另外一组线面垂直的问题如何较为快速地找出思路呢？ABBCPEBC?)(将已知条件和要证的结论当作条件，看看能推出哪个线面垂直(BCPEAPBPEAA)B.EB垂直与两条直线，，但是和异面，得不出线面垂直结论.通过找和的平行线，将二者平移至相交即可得到一组线面垂直关系FBCPEF(此时发现面这个结论是正确，接下来只要证明这个结论成立即可.)PB=PCFBCPFBC又，为的中点，PFEF=FBCPEF.BCPE而，面P-ABCPAPBPCABC=:PACABC.变式1在三棱锥中，，90，求证面面PEACPEBCACBC=CPEABC.故由，，，面PEPACPACABC.面，面面back练2在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为C1D1的中点，求二面角E-BD-C的大小.AA1BB1CC1DD1EMFback3：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小．AA1BB1CC1DD1E思路分析：①找基面平面BCD②作基面的垂线过E作EF⊥CD于FF③作平面角作FG⊥BD于G，连结EGG解：过E作EF⊥CD于F，于是，∠EGF为二面角E－BD－C的平面角．∵BC=1，CD=2，11212255BCCDGFBD而EF=1，在△EFG中tan5EFEGFGF∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴EF⊥平面BCD，且F为CD中点，过F作FG⊥BD于G，连结EG，则EG⊥BD．（三垂线定理）∴M练习PABC思路分析：①找基面②找基面的垂线③作平面角平面ABC取AB的中点M，连结PM．M由己知AB2=AC2+BC2，∴∠ACB是直角．N取AC的中点N，连结MN、PN．∵MN∥BC，AC⊥BC，∴MN⊥AC，由三垂线定理知PN⊥AC．∴∠MNP就是二面角P—AC—B的平面角∵PA=PB=PC，∴△PAM≌△PCM．∵PM⊥AM，∴PM⊥CM，∴PM⊥平面ABC连结CM，∴AM=BM=CM，4.已知△ABC,AB=10,BC=6,P是平面ABC外一点,且PA=PB=PC=AC=8,求二面角P—AC—B的平面角的正切值.back练求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？