P(四章第四讲)狄拉克符号

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量子力学与统计物理Quantummechanicsandstatisticalphysics光电信息学院李小飞第四章:表象与矩阵力学第四讲:狄拉克(Dirac)符号狄拉克:沉默寡言,追求精确。剑桥大学同事定义了“一个小时说一个字”为一个“狄拉克”单位引入:一对奇妙的组合海森堡与狄拉克海森堡:活泼开朗,喜唱歌跳舞,是团队中的开心果。狄拉克(Dirac,1902年8月8日~1984年10月20日),英国理论物理学家,量子力学的奠基者之一,因1928年发表相对论量子力学之狄拉克方程获1933年诺贝尔物理学奖。他的三篇科研论文奠定了“量子物理”“量子场论”以及“粒子物理”的基础。“狄拉克的文章给人以“秋水文章不染尘”的感受,没有任何渣滓,直达宇宙的奥秘”--杨振宁狄拉克“在所有的物理学家中,狄拉克拥有最纯洁的灵魂。”--玻尔狄拉克其人他一生著作不少.他的《量子力学原理》(1930年出版),一直是该领域的权威性经典名著,甚至有人称之为“量子力学的圣经”。1、量子体系的状态用波函数(态矢量)描述,所有态矢量构成一个Hilbert空间,2、波函数可以在任一力学量本征函数系(表象)上展开,要这么复杂吗?我认为量子力学的波函数,算符和定律等与具体表象无关。海森堡矩阵力学基本内容:展开系数构成坐标矩阵狄拉克:3、描述量子力学的波函数、算符和定律等在不同表象中虽具有不同的矩阵形式,却可相互转换(幺正变换)左矢(bra)、右矢(ket)(源于词:bracket)•态矢量用右矢表示:也可以在右矢内填上具体力学量算符的本征值或量子数,以具体表示某个量子态,如:,.eg,',',nExplm•共轭态矢量(共轭波函数)用左矢表示:,.*eg定义:1.狄拉克(Dirac)符号*ˆA()A()rrdrˆˆ(,A)A(,)*d*********()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbanbannbaababnnnabnnabn|,|nnnnanbn标积展开式:2.狄拉克(Dirac)符号表述的量子力学1本征矢的正交归一化波函数归一化23*3(,)1drdr'|')(,)(')pppppp'|'(,)(')xxxxxx''(-)''qqqq(-)''''|'')(,)lmlmllmmlmlmYY(,)mnmnmnuu|nn|xx态矢量在具体表象中的表示()xx*(,)nnnadn本征态上的展开系数(投影)|nn**(,)nnnadn()ppnnnnnannann投影算符nnPnnan1nnnPnn定义:nPnnnnnnanP3.应用于计算波函数的矩阵nnnanan1212.............................natatatn算符的矩阵ˆF设态矢经算符的作用后变成态矢,即ˆF|1|nnnˆnmmFnnˆnFnnmmnnnbFa111121221222bFFabFFaˆmnFmFnSchrödinger方程的矩阵形式ˆiHtˆiˆ1ˆnmmHtmHmHnnimmnnnaHat平均值公式1的矩阵形式ˆFF*ˆmnmmnnmnmmFnnaFaˆ11F2ˆ||nnnFafnFnˆnmnnFmmnˆnmnmnnFmˆ()nmnmnnFm2ˆ||nnnnnnnnanˆˆnmmFmˆˆ()nFtrF平均值公式2的的矩阵形式平均值公式3概率密度矩阵GFGF两算符之积的平均值111GF,,mmllnnnmlGF*mmllnnmlnaGFaˆi()()tHtt1)Schrödinger绘景在薛定谔的世界里,算符不是时间的函数,波函数是时间的函数。算符的平均值发生变化的原因是波函数随时间在演化,波函数按薛定谔方程进行演化:1ˆˆ[,]dAAAHdtti4.量子力学三种绘景00ˆ(,)()()(1)Utttt定义波函数演化算符:作用于时刻的态得到t时刻的态0()t0t()t0000ˆ(,)()(),Utttt分析:(1)00ˆ(,)IUttˆi()()tHtt0000ˆˆˆi(,)()(,)()UtttHUtttt(2)求它的具体形式0ˆi()/0ˆ(,)(2)HttUtte00ˆˆˆi(,)(,)UttHUttt0ˆi()/†0ˆ(,)HttUtte††0000ˆˆˆˆ(,)(,)(,)(,)UttUttUttUttI00ˆˆi()/i()/0=eHttHtte00ˆ()(,)()tUttt说明:波函数随时间的演化只是一种幺正变换!(3)是幺正算符0ˆi()/0ˆ(,)HttUtte()()φ=SψBA†00ˆˆˆˆ()(,)(,)(3)AtUttAUtt在海森堡的世界里,波函数不变,算符在随时间变化2)Heishenberg绘景0ˆˆ()()()()()AtAttAtt†00000ˆˆˆ()(,)()(,)()tUttAtUttt定义含时算符:说明:算符随时间的演化也只是一种幺正变换!00ˆ()()()tAtt'FSFS1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()i1ˆˆˆˆˆ(()()()())iUHUUAUUAUUHUAtAtHtHtAtAt则d1ˆˆˆ()[(),()](4)diAtAtHtAtt上式称为Heisenberg方程。算符按Heisenberg方程进行演化0000dddˆˆˆˆˆˆˆˆ()(,)(,)(,)(,)ddd1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()iAtUttAUttUttAUttAttttHUAUUAHUAt1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()iUHAUUAHUAt3)狄拉克(Dirac)绘景与狄拉克方程也称相互作用绘景(I绘景),他把哈密顿量分解成两部分(比如:能精确求解的和含微扰的哈密顿量;也称不含时的和含时的哈密顿量)0ˆˆˆ()iHHHt在Dirac的世界里,波函数和算符都随时间演化,演化方式都是从S到I的幺正变换因此,有两个方程:ˆi()()()iIIItHtttDirac方程:这就是相对论量子力学之Dirac方程:反物质理论建立分析:在海森堡绘景中,只是算符随时间深化,现考察自由粒子的位置算符随时间的演化mpempeempreHtrtrtHtHtHtHt/i/i/i2/i]2/,[i1]),([i1)(ddtmprtr)0()(解微分方程,得:()(0)rtrvt现令t0=0*量子力学到经典力学的过渡作业:1.试用Dirac符号证明以下不依赖了具体表象的薛定谔方程是成立的2.试用Dirac符号求证动量表象中的薛定谔方程为

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