P(四章第四讲)狄拉克符号

量子力学与统计物理Quantummechanicsandstatisticalphysics光电信息学院李小飞第四章：表象与矩阵力学第四讲：狄拉克(Dirac)符号狄拉克：沉默寡言，追求精确。剑桥大学同事定义了“一个小时说一个字”为一个“狄拉克”单位引入：一对奇妙的组合海森堡与狄拉克海森堡：活泼开朗，喜唱歌跳舞，是团队中的开心果。狄拉克（Dirac，1902年8月8日～1984年10月20日），英国理论物理学家，量子力学的奠基者之一，因1928年发表相对论量子力学之狄拉克方程获1933年诺贝尔物理学奖。他的三篇科研论文奠定了“量子物理”“量子场论”以及“粒子物理”的基础。“狄拉克的文章给人以“秋水文章不染尘”的感受，没有任何渣滓，直达宇宙的奥秘”--杨振宁狄拉克“在所有的物理学家中，狄拉克拥有最纯洁的灵魂。”--玻尔狄拉克其人他一生著作不少．他的《量子力学原理》(1930年出版)，一直是该领域的权威性经典名著，甚至有人称之为“量子力学的圣经”。1、量子体系的状态用波函数（态矢量）描述，所有态矢量构成一个Hilbert空间,2、波函数可以在任一力学量本征函数系（表象）上展开，要这么复杂吗？我认为量子力学的波函数，算符和定律等与具体表象无关。海森堡矩阵力学基本内容：展开系数构成坐标矩阵狄拉克：3、描述量子力学的波函数、算符和定律等在不同表象中虽具有不同的矩阵形式，却可相互转换（幺正变换）左矢(bra)、右矢(ket)（源于词：bracket）•态矢量用右矢表示：也可以在右矢内填上具体力学量算符的本征值或量子数，以具体表示某个量子态，如：,.eg,',',nExplm•共轭态矢量（共轭波函数）用左矢表示：,.*eg定义：1.狄拉克(Dirac)符号*ˆA()A()rrdrˆˆ(,A)A(,)*d*********()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbanbannbaababnnnabnnabn|,|nnnnanbn标积展开式：2.狄拉克(Dirac)符号表述的量子力学1本征矢的正交归一化波函数归一化23*3(,)1drdr'|')(,)(')pppppp'|'(,)(')xxxxxx''（-）''qqqq（-）''''|'')(,)lmlmllmmlmlmYY(,)mnmnmnuu|nn|xx态矢量在具体表象中的表示()xx*(,)nnnadn本征态上的展开系数（投影）|nn**(,)nnnadn()ppnnnnnannann投影算符nnPnnan1nnnPnn定义：nPnnnnnnanP3.应用于计算波函数的矩阵nnnanan1212.............................natatatn算符的矩阵ˆF设态矢经算符的作用后变成态矢,即ˆF|1|nnnˆnmmFnnˆnFnnmmnnnbFa111121221222bFFabFFaˆmnFmFnSchrödinger方程的矩阵形式ˆiHtˆiˆ1ˆnmmHtmHmHnnimmnnnaHat平均值公式1的矩阵形式ˆFF*ˆmnmmnnmnmmFnnaFaˆ11F2ˆ||nnnFafnFnˆnmnnFmmnˆnmnmnnFmˆ()nmnmnnFm2ˆ||nnnnnnnnanˆˆnmmFmˆˆ()nFtrF平均值公式2的的矩阵形式平均值公式3概率密度矩阵GFGF两算符之积的平均值111GF,,mmllnnnmlGF*mmllnnmlnaGFaˆi()()tHtt1）Schrödinger绘景在薛定谔的世界里，算符不是时间的函数，波函数是时间的函数。算符的平均值发生变化的原因是波函数随时间在演化，波函数按薛定谔方程进行演化：1ˆˆ[,]dAAAHdtti4.量子力学三种绘景00ˆ(,)()()(1)Utttt定义波函数演化算符：作用于时刻的态得到t时刻的态0()t0t()t0000ˆ(,)()(),Utttt分析：（1）00ˆ(,)IUttˆi()()tHtt0000ˆˆˆi(,)()(,)()UtttHUtttt（2）求它的具体形式0ˆi()/0ˆ(,)(2)HttUtte00ˆˆˆi(,)(,)UttHUttt0ˆi()/†0ˆ(,)HttUtte††0000ˆˆˆˆ(,)(,)(,)(,)UttUttUttUttI00ˆˆi()/i()/0=eHttHtte00ˆ()(,)()tUttt说明：波函数随时间的演化只是一种幺正变换！（3）是幺正算符0ˆi()/0ˆ(,)HttUtte()()φ=SψBA†00ˆˆˆˆ()(,)(,)(3)AtUttAUtt在海森堡的世界里，波函数不变，算符在随时间变化2）Heishenberg绘景0ˆˆ()()()()()AtAttAtt†00000ˆˆˆ()(,)()(,)()tUttAtUttt定义含时算符：说明：算符随时间的演化也只是一种幺正变换！00ˆ()()()tAtt'FSFS1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()i1ˆˆˆˆˆ(()()()())iUHUUAUUAUUHUAtAtHtHtAtAt则d1ˆˆˆ()[(),()](4)diAtAtHtAtt上式称为Heisenberg方程。算符按Heisenberg方程进行演化0000dddˆˆˆˆˆˆˆˆ()(,)(,)(,)(,)ddd1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()iAtUttAUttUttAUttAttttHUAUUAHUAt1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()iUHAUUAHUAt3）狄拉克（Dirac）绘景与狄拉克方程也称相互作用绘景（I绘景），他把哈密顿量分解成两部分（比如：能精确求解的和含微扰的哈密顿量；也称不含时的和含时的哈密顿量）0ˆˆˆ()iHHHt在Dirac的世界里，波函数和算符都随时间演化，演化方式都是从S到I的幺正变换因此，有两个方程：ˆi()()()iIIItHtttDirac方程:这就是相对论量子力学之Dirac方程:反物质理论建立分析：在海森堡绘景中，只是算符随时间深化，现考察自由粒子的位置算符随时间的演化mpempeempreHtrtrtHtHtHtHt/i/i/i2/i]2/,[i1]),([i1)(ddtmprtr)0()(解微分方程，得：()(0)rtrvt现令t0=0*量子力学到经典力学的过渡作业：1.试用Dirac符号证明以下不依赖了具体表象的薛定谔方程是成立的2.试用Dirac符号求证动量表象中的薛定谔方程为