线性代数 第一章

第一章1课题：n阶行列式教学目的：理解排列、逆序、n阶行列式等有关概念，熟悉掌握二阶行列式、三阶行列式、四阶行列式的求值、掌握n阶行列式及含字母行列式的计算及克莱姆法则教学重点：四阶行列式的计算教学难点：含字母行列式的计算教学时数：6教学设计：§1、§2n阶行列式一、全排列1简要复习中学的全排列定义与计算公式，导入这里的全排列。现在讲的排列是中学所讲排列的特殊情况：①参与全排列的元素就是1,2,,n这n个自然数。②排列是指全排列而不含中学的选排列。2定义：将1,2,,n这n个自然数排成一列，称为这n个自然数的一个n级排列，也可简称排列。记作12niii显然，所有n级排列的总数为!n，是偶数。如果1,2,,n这n个自然数按自然顺序排列，即(12123niiin)则称这个排列为自然排列。3逆序：在一个排列中，如果某两个数的排列次序与自然排列不同时，则称这两个数构成一个逆序。①逆序数定义：一个排列12niii的所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作：12()ntiii②奇排列与偶排列定义：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。一个n级排列如果不是奇排列就一定是偶排列，不偶排列就一定是奇排列，这二者必居其一且只居其一。因此，奇、偶排列数相同。③奇、偶排列的判定方法第一章2例如：判定排列7341256是奇排列还是偶排列？解：将自然排列1234567与排列7341256分别排成平行的两行，连接上下两行相同的元素(注意不要三线共点)，得到排列交叉图，图中交点的个数就是逆序数，12345677341256(7341256)10N4对换①定义：在排列中，将某两个元素交换位置其余元素的位置不变得到新的排列的变换称为对的对换。将相邻两个元素的对换称为相邻对换。①性质：任意一个排列经过一次对换，排列的奇、偶性要发生改变，即奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。二、n阶行列式的概念1二阶行列式定义：由4个数排成正方形，在两边各加一条竖线所得的数学符号11122122aaaa称为一个二阶行列式，它表示数11221221aaaa，即：1112112212212122aaaaaaaa2三阶行列式定义：由9个数排成正方形，在两边各加一条竖线所得的数学符号111213212223313233aaaaaaaaa称为一个三阶行列式，它表示数：112233122331132132132231122133112232aaaaaaaaaaaaaaaaaa第一章3即：111213212223112233122331132132313233132231122133112232aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa例如：1203111000(6)(2)9021注意：对角线法则仅适用于二、三阶行列式。3n阶行列式的定义①n阶方阵的行列式的定义(展开式中行标、列标任意排列)②行③列④元素⑤行标⑥列标⑦行列式的展开式⑧展开式的一般项⑨主、次对角线注意：1）行列式与矩阵的区别。(行列式代表一个确切的数，矩阵是一个数表)2）n阶行列式的的展开式共有!n个项，且正、负符号各半。3)展开式中的各项，由于数的乘法具有交换律，所以可以就各个项中n个数的位置进行对换，每对换一次行标与列标的奇偶性都改变一次，其和的奇偶性不变，记以可以进行一系列的对换，使行标成为自然排列，当然也可以进行一系列的对换，使列标成为自然排列，见53P4)方阵的行列式5)一阶行列式aa4特殊行列式①上三角行列式②下三角行列式③对角形行列式作业：P371.(1)(2)，2.(1)(3)，4,7，(2)(4)，8.((1)(3)，9.第一章4§3、§4行列式的性质与计算一、性质1行列式与其转置行列式相等。2互换行列式的某两行(列)得到新行列式则新行列式应反号。特别地：若行列式中有两行(列)对应元素相等，则行列式等于零。3行列式中某一行(列)的所有元素的公因数可以提到行列式的外面。即以数K乘以行列式等于用数K乘以行列式的某一行或某一列。特别地：若行列式中有一行(列)的元素全为零，则行列式等于零。4行列式中如果有某两行(列)对应元素成比例，则行列式的值为零。特别地：比例系数为15见57P性质26把行列式的某一行(列)的各元素的K倍加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变。说明：性质2、3、6是关于行列式对于行和列的三种变换：二、行列式的降阶展开(拉普拉斯定理)1余子式与代数余子式定义：在n阶方阵的行列式中，将元素ija所在的行和列同时划去，其余元素构成一个1n阶方阵的行列式，称为元素ija的余子式，记为ijM；记(1)ijijijAM，称ijA为元素ija的代数余子式。2拉普拉斯定理行列式等于它的任意一行(列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和；行列式的某一行(列)的各个元素与另一行(列)对应的其代数余子式的乘积之和等于零。三、行列式的计算例1计算行列式3112513420111533D第一章5解：2113314152112311235134067112011025715330656rrrrrrrrD2123267113711157257(1)215723711656356356rrrr322131578102081024025025rrrr例2计算行列式1234521234321234321254321D解：14,3,2,112345123452123411111321231111143212111115432111111iirriD51,2,3,401236123602220222000220022000020002011111irri第一章61412362222220(1)0224802200020020例3、计算100110011001abDcd解3212010101110111101101010001cdcrarabaabaabaadbDcccdcdd1(1)(1)11abadabcdadcd1abcdabadcd例4、计算222244441111abcdDabcdabcd解：212314412222222222224444444444441111000rarrarrarbacadabacadaDbacadabacadabacadabacada第一章7222222111()()()()()()()()()bacadabacadababacacadada21322332233223111()()()rarbacadabcdaababbaacaccaadadd331223223223111()()()rarbacadabcdababbacaccadadd232232323111()()()rarbacadabcdabbaccadd222333111111()()()()()()abacadabcdbacadabcdbcdbcd2222233333100100()()()()()()abacadabcbdbbacadabcbdbbcbdbbcbdb11()()()()()abacadacbdbbcbd222211()()()()()bacadacbdbcbcbdbdb10()()()()()aabacadbcbdbcdc第一章82210()()()()()()()abacadbcbdcbcbdcbdc()()()()()()()()()()()()()aabacadbcbdcdabacadbcbdcdbcd()()()()()()()abacadbcbdcdabcd例5???计算n阶行列式nxaaaaxaaDaaxaaaax解1：112,3,2,3,(1)(1)(1)000(1)000(1)000iiCCrrnininxnaaaaxnaaaaxnaxaaxaDxnaaxaxaxnaaaxxa1[(1)]()nxnaxa????解2：12,3,1111101000010000100001000irrninnnnaaaaaaaaxaaaxaaaxaaxaaaxaaxaDaaxaaaxaxaaaaxaaaxxa①如果xa，则11100001000001000010000nnaaaaD②如果xa，则12,3,11100000000(1)()00000000CixanaxaCnnanxainnaaaaxaxaDxaxaxa第一章9综合①、②有：1[(1)]()nnDxnaxa例6计算20000nabababDcdcdcd解：12200000000(1)00000000nnababababDabcdcdcdcddc2112(1)2(1)2(1)(1)()nnnnadDbcDadbcD222(1)2(2)112()()()()()nnnnnnDadbcDadbcDabadbcDadbcadbccd作业：P3912.(4)(6)，13.(1)，17,18，20.(1)第一章10§5克莱姆法则一、克莱姆法则未知数个数与方程个数一样多的线性方程组法则见32P二、法则的应用例1123123123632132326xxxxxxxxx解：213132111111543210541731213031rrrrD1323616110011911321191168842613843ccccD21313221611115431310545114122630141rrrrD21313321161165532130558531421260314rrrrD所以，1171171DDx2512173DDx3853175DDx第一章11例2当为何值时，齐次线性方程组123123123000xxxxxxxxx有非零解？解：123112111111121(2)11112111cccD21312111(2)010(2)(1)001rrrr由0D，得2=1或，即当2=1或齐次线性方程组有非零解。作业：P4428(5)(6)(9),31,32