线性代数A试题与答案

《线性代数》试题A与答案第1页（共6页）《线性代数》试题A与答案一、填空题（每空格2分，共14分）1.四阶行列式ija的展开式中，项21133442aaaa所带的符号是号.2.设矩阵1012A，则2A；nA.3.设A是2阶方阵，B是3阶方阵，2A，3B，则TAB.4.线性方程1230xxx的一个基础解系是.5.若矩阵A满足2AA，且1A，则A的特征值为.6.若矩阵0011100ab有三个线性无关的特征向量，则ab.二、选择题（每小题3分，共15分）1.若四阶行列式中，第三行元素依次为1,2,0,1，对应的余子式依次为5,3,7,4，则该行列式的值为()（A）3（B）5（C）15（D）52.若A为n阶可逆矩阵，*A为伴随矩阵，则行列式*A()（A）1nA（B）nA（C）1A（D）A3.若矩阵A中所有的r阶子式都为零，则必有（）（A）()1rAr（B）()1rAr（C）()1rAr（D）()rAr4.已知向量组123,,线性无关，若向量组122313,,k线性相关，则常数k()（A）0（B）1（C）2（D）1《线性代数》试题A与答案第2页（共6页）5.若矩阵20022311x与10002000y相似,则()（A）0,2xy（B）1,2xy（C）2,1xy（D）1,1xy三、计算题（每小题9分，共27分）1．计算行列式1111111111111111xxxx.2．设矩阵111231104A，且3AXAX,求矩阵X.3．求向量组(1,3,4,2)a，(2,1,3,1)b，(3,1,2,0)c，(4,3,1,1)d的秩和一个极大无关组，并问向量组的所有极大无关组有几组？.四、计算、讨论题（每小题12分，共36分）1．设矩阵12010215At，向量314bt，若非齐次线性方程组AXb对应的齐次方程组有无穷多解，求t的值和非齐次线性方程组的全部解.2．已知矩阵74147144Aa的全部特征值为1233,11,求：(1)a的值；(2)311对应的一个特征向量；（3）判别矩阵A可否相似对角化？3．写出三元二次型22212312132344224fxxxaxxxxxx的矩阵．求a的取值范围，使得f是正定二次型.五、证明题（共8分）设12,是矩阵A的对应于两个不同特征值12,的特征向量，求证:12,线性无关.《线性代数》试题A与答案第3页（共6页）《线性代数》试题B一、填空题（每空格2分，共14分）1.四阶行列式ija的展开式中，项13342142aaaa所带的符号是号.2.设矩阵1102A，则2A；nA.3.设A是n阶方阵，2A，则13()TAA.4.已知向量组123,,线性无关，向量组122313,,k线性相关，则常数k.5.若矩阵A有个特征值为1，则3223BAA有个特征值为.6.若实对称矩阵两个特征向量(1,2,1),(1,1,)TTa，则a.二、选择题（每小题3分，共15分）1.若三阶行列式的值为零，则该行列式中()（A）一行元素全为零（B）两行元素相等（C）两行元素对应成比例（D）有一行可以用另外两行线性表出2.若A为3阶方阵，*A为伴随矩阵，则*(2)A()（A）*2A（B）*4A（C）*8A（D）*16A3.若矩阵A中有两个r阶子式不为零，则必有（）（A）()rAr（B）()rAr（C）()rAr（D）()rAr4.设同阶非零矩阵,AB满足ABO，则A的行向量组与B的行向量组()（A）分别都线性无关（B）只有一个线性无关（C）分别都线性相关（D）以上答案均错《线性代数》试题A与答案第4页（共6页）5.若矩阵10000201a与10000002b相似,则()（A）1,1ab（B）1,1ab（C）1,1ab（D）1,1ab三、计算题（每小题9分，共27分）1．求行列式10121103111010203040的第四行元素的代数余子式之和.2．设矩阵011221103A，且2AXAX,求矩阵X.3．求向量组(1,0,1,0)a，(1,1,0,1)b，(1,2,1,2)c，(1,1,0,1)d的秩和一个极大无关组.四、计算、讨论题（每小题12分，共36分）1．设矩阵121201101Aaaa，向量12bk，若非齐次线性方程组AXb对应的齐次方程组的基础解系含有两个解向量，且AXb有解，求,ak的值和非齐次线性方程组的全部解.2．已知矩阵00111100Aa，（1）求A的全部特征值；（2）若A相似于某个对角矩阵，求a的值；（3）在（2）的情况下，求出A的小于零的特征值所对应的一个特征向量．3．用矩阵形式表示三元二次型222123233222fxxxxx，并判别f是否为正定二次型？五、证明题（共8分）《线性代数》试题A与答案第5页（共6页）设*X是非齐次线性方程组AXb的一个解，12,XX是对应的齐次方程组的一个基础解系，求证:向量组*X，1X，2X线性无关.试题A答案：一、填空题（每空格2分，共14分）1.负.2.1034；10212nn.3.24.4.(1,1,0),(1,0,1)TT.5.1.6.0.二、选择题（每小题3分，共15分）1.C.2.A.3.B.4.D.5.A.三、计算题（每小题9分，共27分）1．4x.2．133320037.3．2r；,ab为一个极大无关组；极大无关组有6组．四、计算、讨论题（每小题12分，共36分）1．3t；全部解为123122xCxCxC或122101XC．2．（1）3a；（2）110；（3）不可相似对角化．3．1142124aAa；21a．五、证明题（共8分）《线性代数》试题A与答案第6页（共6页）提示：设有常数12,xx使得1122xxO，然后推出10x，20x.试题B答案：一、填空题（每空格2分，共14分）1.负.2.1304；12102nn.3.3n.4.1.5.1.6.1.二、选择题（每小题3分，共15分）1.D.2.B.3.B.4.C.5.A.三、计算题（每小题9分，共27分）1．1．2．122210025.3．3r；,,abc.四、计算、讨论题（每小题12分，共36分）1．1a，1k；11212314232xCxCCxCxC或12310211010001XCC.2．（1）121，31；（2）故1a；（3）101．3．记300021012A，123xXxx，TfXAX；f是正定二次型．五、证明题（共8分）提示：设有常数012,,kkk使得*01122kXkXkXO，推出00k，120kk．