线性代数I期末试卷(二)

B卷-1-2007—2008学年第一学期《线性代数Ⅰ》课程考试试卷B参考解答注意：1、本试卷共3页；2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方阅卷负责人签名：题号一二三四五六七八总分得分一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、若向量组,,线性无关，向量组,,线性相关，则【C】(A)必可由,,线性表示；(B)必可由,,线性表示；(C)必可由,,线性表示；(D)必不可由,,线性表示。2、向量组121,1,,1,2,2,,2,,,,mmmm的秩为【A】（A）1；（B）2；（C）0；（D）m。3、设A是nm矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是【D】(A)A的行向量组线性无关；(B)A的行向量组线性相关；(C)A的列向量组线性无关；(D)A的列向量组线性相关。4、设A为n阶方阵A的伴随阵，则AA【】(A)2A；（B）nA；（C）2nA；（D）21nA。5、设A为3阶方阵，3A，则2A的值为【D】(A)5；(B)6；(C)12；(D)24。6、设A、B均为同阶方阵，则必有【D】（A）ABAABB2222;（B）TTTABAB；（C）ABABAB22；（D）ABAB。7、已知n维向量组12,,,m(mn)，则【A】(A)12,,,m必线性相关；(B)12,,,m必线性无关；(C)12,,,m可能线性相关也可能线性无关；(D)以上均不对。8、设A为mn矩阵，且非齐次线性方程组Axb有唯一解，则必有【B】（A）mn；（B）秩;RAn（C）秩;RAm（D）秩.RAm9、如果A-E可逆，则【B】（A）A的特征值不为0；（B）A的特征值不为1；（C）A无实特征值；（D）A的特征值均为实数。10、设方阵A与方阵B相似，则不真的陈述为【C】（A）A与B有相同的特征多项式；（B）A与B有相同的特征值；（C）A与B有相同的特征向量；（D）A与B有相同的秩。二、计算行列式（每小题8分，共16分）1、1D212022419712103=212002212242003243121003123…………………………（4分）212211210550505511123121。………………………………（4分）2、2D32110302201101021200120030232103242011120120102。………………（8分）阅卷人得分阅卷人得分B卷-2-三、矩阵运算（8分）设A=101123，B=231120011,C=112311120，计算()62TTBAAC。解()626223TTTTTTTBAACABACABC…………………（2分）21011211223321311013101120…………………………（3分）5221122652013223157630141220170214……………（3分）四、解矩阵方程（8分）。设301110014A，满足2AXAX，求X。解由2AXAX，有2AEXA；……………………………（2分）而1013011005222,110110010432012014001223AEA…（3分）于是得15222432223XAEA…………………………（3分）五、给定向量组11,1,0,0,T21,1,0,1,T32,0,1,1,T40,2,1,1.T；1、若3212320，求；2、求向量组1234,,,的秩1234(,,,)R；3、求向量组1234,,,的一个最大无关组；4、将其余向量用此最大无关组线性表示。（16分）解：1、,,,,,,TT13320223011222；……………（4分）123411201102(,,,)00110111～1120022200110111～…～1002010000110000…（3分）2、可知，1234(,,,)R=3。…………………………………………………………（3分）3、由以上行最简形矩阵，可选取123,,为向量组1234,,,的一个最大无关组（不唯一）。……………………………（3分）4、向量4由该最大无关组线性表示的表达式为4132a………………………………………………………（3分）六、求线性方程组1234123412343133445980xxxxxxxxxxxx的通解。（16分）解3351024411311371,31344012441598000000Ab…………………（4分）24RARAbn,,原方程组有无穷多解，其同解方程组为阅卷人得分阅卷人得分阅卷人得分阅卷人得分B卷-3-134234335244,371244xxxxxx取34xx,为自由未知量，令340xx，得原方程组的一个特解510044T,,,，………………………………………4分在对应的齐次方程组的同解方程组1342343324,3724xxxxxx中，分别取342004xx和得原方程组对应的齐次方程组的基础解系（不唯一）1233203704TT,,,,,,,，…………………………………6分于是，所求通解为x1122cc，即1234xxxx1253343714200040cc，（12,cc为任意常数）…………………2分七、设二次型为22212312323,,4332fxxxxxxxx⑴写出二次型的矩阵A；⑵求A的特征值；⑶求A的特征向量；⑷用正交变换将二次型化为标准形，并求出所用的正交变换。（16分）解：1、二次型的矩阵为A=400031013；……………………………………………4分2、2400031420013AE得矩阵A的特征值1234,2,………………………………4分3、对应于124,解齐次方程组1AExO，由0000114011000011000AE得矩阵A的对应于124的特征向量（即齐次方程组的基础解系，不唯一）为11,0,0Tp，20,1,1Tp……………………………………………2分对应于32,解齐次方程组3AExO，由2001002011011011000AE得矩阵A的对应于32的特征向量为30,1,1Tp…………………………………2分⑷因为3阶实对称矩阵A的3个特征向量已经是相互正交，故只须把它们单位角化，得111100pp，22201212pp，33301212pp；……………1分于是得正交矩阵123100,,0121201212Q，故有442TQAQ…1分作正交变换XQY，二次型123,,fxxx可化为标准形222123442fyyy。………………………………………2分阅卷人得分