线性代数习题及答案

线性代数测试题（-）一、单项选择题（每小题3分，共15分。）1.已知BA,是同阶方阵，下列等式中正确的是【】A.||||||BAAB；B.TTTBAAB)(；C.111)(BAAB；D.kkkBAAB)(.2.设A是nm矩阵，齐次线性方程组0Ax有非零解的充要条件是【】A.nAr)(；B.nAr)(；C.0||A；D.nm.3.设A是45矩阵,则下列命题正确的是【】A.A的行向量组线性无关；B.A的行向量组线性相关；C.A的列向量组线性无关；D.A的列向量组线性相关.4.设A是n阶可逆矩阵，是A的一个特征值，则*A的一个特征值是【】A.nA||1；B.||1A；C.||A；D.nA||.5.设n阶方阵A与B相似，则下列命题不正确的是【】A.A与B有相同的特征值；B.)()(BrAr；C.||||BA；D.A与B有相同的特征向量.二、填空题（每小题3分，共15分。）1.已知)1,3,2(),1,1,1(),,2,1(321t，当t时，321,,线性无关.2.yyyyyyf212112)(中3y的系数是.3.设A为3阶方阵，A的特征值为-1，1，2，则|3|1A=.4.设321,,是三元线性方程组bAx的三个解，且2)(Ar，40221，11132，则bAx的通解为5.设二次型31212322212224xxxtxxxxf是正定的，则t的范围是三、（本题10分）已知221011324A，矩阵X满足XAAX2，求矩阵X四、（本题10分）求下列向量组的秩和一个最大无关组.)3,4,3,4(,)3,2,1,1(,)1,1,3,2(,)1,1,1,1(4321.五、（本题14分）已知线性方程组.,,,41433221kkxxkxkxkxkxkxkx(1)(8分)k为何值时，方程组有惟一解?无解？无穷多解？(2)(6分)在有无穷多解的情况下求出其通解.六、（本题10分）已知三阶方阵A的特征值为-1，1，2.设3223AAIB.(1)(5分)求矩阵A的行列式及A的秩；(2)(5分)求矩阵B的特征值及其相似对角矩阵.七、（本题14分）设011101110A，求正交矩阵P使得APP1为对角矩阵.八、证明题（本大题2小题，每小题6分，共12分）1.向量组321,,线性无关，试证向量组32121132,2,线性无关.2.设A为nm矩阵,B为mn矩阵,且nm.证明：.0||AB线性代数测试题答案(一)一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.A；2.B；3.B；4.B；5.D.二、填空题（每小题3分，共15分）1.2t；2.-4；3.227；4.)()1,1,1()2,0,1(RkkTT；5.22t.三、（10分）解：由XAAX2得AXIA）（2（1分）30210113222|IA|（2分）所以AIAX12）（（2分）3423111012021//IA）（（3分）故35432230241//X.（2分）四、（10分）解：对A进行初等行变换00001100011041213311421131314121A（5分）此向量组的秩为：3（2分）它的一个最大无关组为.,,321（3分）五、（14分）解：(1)系数矩阵A的行列式为10011000100014kkkkk|A|（5分）当1k时，方程组有惟一解；（1分）当1k时，4)(,3)(AbrAr，方程组无解；（1分）当1k时，3)()(AbrAr，方程组有无穷多解；（1分）(2)对增广矩阵进行行初等变换：0000011100010101100111001111001011010011)Ab（（3分）原方程组的通解为：)Rk(),,,(k),,,(xTT11110101（3分）六、（10分）解：(1)2A（3分）3)A(r（2分）(2)设为A的特征值，x为A的对应于的特征向量，则：xxAAIBx)231()23(3232B的特征值为-4，0，5（4分）B的相似对角矩阵为：504.（1分）七、解：0)2()1(1111112IA得到特征值2,121（3分）11时，000000111~111111111IA，对应于11的两个正交的特征向量为101,121，单位化得10121,12161（6分）22时，000110101~2111211122IA，对应于22的一个特征向量为111，位化得11131（3分）正交阵3/12/16/13/106/23/12/16/1P.（2分）八、（共12分）1.证：令0)32()2(321321211xxx（2分）整理得：03)22()(332321321xxxxxx(1分)由于321,,线性无关，所以有：.0,0,0321xxx（2分）则向量组32121132,2,线性无关.（1分）证：A为nm矩阵，B为mn矩阵，且nm，nABrnBrnAr)(,)(,)(（4分）又AB为m阶方阵，则0||AB.（2分）