线性代数习题及答案2

线性代数测试题（二）一、单项选择题（每小题3分，共15分。）1.已知BA,是同阶方阵，下列等式中正确的是【】A．||||||BAAB；B.TTTBAAB)(；C.111)(BAAB；D.kkkBAAB)(.2.线性方程组bAx的系数矩阵和增广矩阵的秩的关系是【】A．)()(ArAbr；B.1)()(ArAbr；C.)()(ArAbr；D.)()(ArAbr或1)()(ArAbr.3.设A是43矩阵，则下列命题正确的是【】A.A的行向量组线性无关；B.A的行向量组线性相关；C.A的列向量组线性无关；D.A的列向量组线性相关.4.A是正交矩阵，则下列命题正确的是【】A.A的行向量组是正交单位向量组；B.A的行列式为1；C.A的特征值为1或-1；D.TAA.5.设n阶方阵A与B相似，则下列命题不正确的是【】A．||||BAB.)()(BrArC.A与B有相同的特征值D.A与B有相同的特征向量二、填空题（每小题3分，共15分。）1.xxxxxxf21112)(中3x的系数是.2.已知),3,2(),1,1,1(),3,2,1(321t，当t为时，321,,线性相关；3.设A为3阶方阵，A的特征值为-1，1，2，则|3|*A=.4.设321,,是三元线性方程组bAx的三个解，且2)(Ar，32121，24032，则bAx的通解为.5.设二次型txytyxf222正定，则t的取值范围是三、（本题10分）已知410011103A，矩阵X满足XAAX2，求矩阵X.四、（本题10分）求下列向量组的秩和一个最大无关组：).3,4,3,4(,)3,2,1,1(,)1,1,3,2(,)1,1,1,1(4321.五、（本题14分）已知线性方程组.4242321321321kxkxxxxxkxxx，，(1)(8分)k为何值时，方程组有惟一解?无解？无穷多解？(2)(6分)在有无穷多解的情况下求出其通解.六、（本题10分）已知三阶方阵A的特征值为1，2，-1.设3232AAAB.(1)(5分)求A的行列式及A的秩;(2)(5分)求矩阵B的特征值及其相似对角矩阵.七、（本题14分）求一个正交变换xCy将下列二次型：222123121323255448TfxAxxxxxxxxxx化为标准形.八、证明题（共12分）向量组321,,线性无关，试证向量组32213,2，13线性无关.2.设BA,都是n阶对称阵，试证：AB也是对称矩阵的充要条件是A与B可交换.线性代数测试题答案（二）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.A；2.D；3.D；4.A；5.D.二、填空题（每小题3分，共15分）1.-2；2.2t；3.108；4.)()3,2,1()1,2,0(RkkTT；5.10t.三、（10分）解：由XAAX2得AXIA）（2（1分）1210011101|2|IA（2分）AIAX12）（（2分）111122112)2(1IA（3分）322234225X（2分）四、（10分）解：对A进行初等行变换：3/200003/11100101041213311421131314121A（5分）此向量组的秩为：4（2分）它的一个最大无关组：.,,,4321（3分）五、（14分）解：(1)系数矩阵A的行列式为：)4)(1(1121111||kkkkA（5分）当4,1kk时，方程组有惟一解；（1分）当1k时，3)(,2)(AbrAr，方程组无解；（1分）当4k时，2)()(AbrAr，方程组有无穷多解；（1分）…………………………………装………………………………订………………………………线…………………………………(2)对增广矩阵进行初等行变换：000041100301)(Ab（3分）所以原方程组得通解为：)(),1,1,3()0,4,0(RttxTT.（3分）六、（10分）解：(1)2A（3分）3)A(r（2分）(2)设为A的特征值，x为A的对应于的特征向量，则：xxAAABx)32()32(3232B的特征值为2，18，-6（4分）B的相似对角矩阵为：6182.（1分）七．（14分）解：(1)二次型的矩阵为：542452222A（3分）(2)由）（）（1012IA得A的特征值为：101321，.（3分）(3)当121时，解得0xIA）（的一个基础解系为TT），，（，），，（10201221A的两个正交单位特征向量为：.)53/5,53/4,53/2(,)0,5/1,5/2(21TTpp（4分）当103时，A的单位特征向量为：)3/2,3/2,3/1(3p（2分）(4)令CpppC),,,321（为正交矩阵.作正交变换CYX，得23222110yyyf.（4分）八．（每小题6分，共12分）1.证：令0)()3()2(133322211xxx（2分）整理得：0)3()2()(332221131xxxxxx（1分）由于321,,线性无关，所以有：.0,0,0321xxx（2分）则向量组32121132,2,线性无关.（1分）2.证：充分性：BA,都为n阶对称矩阵，BAABABTTT)(当A与B可交换时有ABABT)(AB是对称矩阵（3分)必要性：AB是对称矩阵ABABT)(又BAABABTTT)(所以A与B可交换.（3分)