线性代数习题及答案4

线性代数测试题（四）一、选择题（每小题5分，共25分。）1．已知四阶行列式4D第一行的元素依次为1，2，－1，－1，它们的余子式为2，-2，1，0，则4D的值为【】A．3；B.；5C.3；D.5.2．已知n阶矩阵1..00...1.1..101..11A,则A的所有元素的代数余子式之和等于【】A．0；B．1；C．-1；D．2.3．设A是nm矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵ACB的秩1r，则【】A．1rr；B．1rr；C．1rr；D．r与1r的关系依C而定.4．设A为nm矩阵，齐次线性方程组0Ax仅有零解的充分必要条件是【】A．A的列向量组线性无关；B．A的列向量组线性相关；C．A的行向量组线性无关；D。A的行向量组线性相关.5．设是n阶可逆矩阵A的特征值，是A的对应于的特征向量，P是n阶可逆矩阵，则PAP*1的对应于特征值A的特征向量是【】A．1P；B．P；C．TP；D．1)(TP.二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题5分，共25分。）1．设BA,都是n阶正交矩阵，若0BA，则___________BA.2．已知ABAB，其中200012021B，则___________A.3．已知向量组.,,,4321aaaa线性无关，若向量组14433221,,,aaaaaakaa线性相关，则____________k.4．若线性方程组bxxxxxaxxxxxxx261723032432143214321无解，则常数ba,应满足的条件是_____________.5．若4阶矩阵A与B相似，且A的特征值为1，2，3，4，则矩阵EB*的全部特征值为___________________.三、计算证明题（50分）1(12分)求向量组)1,6,3,1(),3,2,1,1(),4,1,2,1(),5,0,3,1(4321aaaa的一个极大线性无关组和秩.2．(15分)设A为三阶实对称矩阵，且满足条件022AA，已知A的秩2)(Ar(1)求A的全部特征值；(2)当k为何值时，矩阵kEA为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵.3．(15分)已知二次型)0(233232232221axaxxxxf通过正交变换可化为标准形23222152yyyf，求参数a及所用的正交变换.4．(8分)设A是n阶矩阵，且满足EA2，证明:nEArEAr)()(.线性代数测试题（四）一、选择题（每小题5分，共25分。）1.D；2.B；3.C；4.A；5.A.二、填空题（每小题5分，共25分。）1．0；2．20001210211；3．1；4．8a且1b；5．(23,11,7,5)．三、计算证明题1．解：设),,,(4321TTTTaaaaA，用初等行变换将A化为行阶梯形矩阵：0000000062101111621062106210111113456210312311112423141253rrrrrrrrA（8分）易知，21,aa为向量组4321,,,aaaa的一个极大线性无关组，它的秩为2.（4分）2．解：(1)设为A的一个特征值，对应的特征向量为，即A于是)2()2(22AA，由于022AA，可知022，解得0,2。因为实对称矩阵A必可对角化，又2)(Ar，所以A应对角矩022相似.（2分）因此的全部特征值为0,2321.（1分）(2)矩阵kEA为实对称矩阵，其特征值为kkk,2,2，（4分）于是当2k时，矩阵kEA的特征值都为正数，因此kEA为正定矩阵.3.解：二次型f的矩阵为3030002aaA（1分）设所求的正交矩阵为Q，则AQQT即5213030002QaaQT，两边取行列式，有10)9(230300022aQaaQT（2分）即10)9(22a，解得)0(2a又因为A的特征值为5,2,1321，故当1时，解方程组0)(XAE得特征向量Ta)1,1,0(1（2分）当2时，解方程组0)2(XAE得特征向量Ta)0,0,1(2（2分）当5时，解方程组0)5(XAE得特征向量Ta)1,1,0(2（2分）显然1a，2a，3a是正交向量组，将它们单位化后得:；21210111aa；001222aa21210333aa.（3分）故所求的正交矩阵为2102121021010),,(321Q.（1分）4.证明：由题设EA2得0))((AEAE,于是有nAErAEr)()(由()()2EAEAE,可知)()()2()(AErAErErErn，综上得nAErAEr)()(.（1分）