线性代数复习题-第三章

第三章向量组的线性相关性与线性方程组复习题一、填空题:1.矩阵123235471A的秩为______.2．若n阶方阵A满足0,0*AA，则()____RA.3．设A是n阶方阵，且秩()Arn，则齐次线性方程组0Ax的基础解系中含个解向量.4.非齐次线性方程组bAX有解的充分必要条件是.5.设12,是(3)nn元齐次线性方程组0Ax的基础解系，则秩(A)=.6.设A是34矩阵,2)(AR,又301020201B,则)(ABR.7.设n阶方阵A满足AA2,E为n阶单位阵,则)()(EARAR.8.1(1,3,5)T,2(1,1,3)T,3(1,,6)Ta线性相关,则a应满足__________.9.已知向量组1231,4,3,2,,1,2,3,1TTTt线性相关,则t应满足.10设向量组1(1,2,3)T，2(2,1,3)T，3(1,1,0)T,则向量组123,,的秩是.11.已知向量组222(1,,),(1,,),(1,,),aabbcc则当常数,,abc满足_________时该向量组线性无关.12.设向量组I:1,,s线性无关，而12,都能由向量组I线性表出，则秩(112,,,,s)=____.13.设向量组321,,线性相关,则向量组133221,,线性.14.设向量(3,5,7,9)，1,5,2,0，向量满足325，则向量=__________.二、判别说理题：1.若,是线性方程组Axb的两个解向量，则是方程组0Ax的解.2.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵*A的秩为零.3.若线性方程组bAX有解,则A的秩一定为零.4．设向量12,是n元线性方程组Axb的解向量，那么121233也是这个方程组的一个解向量.5.若是0AX的解,若是(0)AXbb的解，则是bAX的解.6.n元线性方程组(0)Axbb当()RAn时有无穷多解.7.设A是n阶方阵,若方程组bAX满足),()(bARAR,则bAX有唯一解.8.对于线性方程组Axb(这里A为n阶方阵),如果该方程组有解，则必有()RAn.9.设矩阵A的秩为)1(rr，则A中必有一个1r级子式不为零.10.方程组12341234123423135322223xxxxxxxxxxxx中，方程个数少于未知量个数，因而方程组有无限多解.11.对于n阶矩阵A，如果齐次方程组0Ax存在无穷多组解，则对于任何一个非零n维列向量b，对应的非齐次线性方程组Axb至少存在一个解.12.若12,是(0)AXbb的解，则12也是bAX的解.1．1,a2a线性相关，1,b2b也线性相关，则11,ab22ab一定线性相关.2.3维向量组1234,,,必线性相关。3.包含零向量的向量组是线性相关的.4.如果向量组12,,,s线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例.5.若向量组12,,,raaa线性相关，则组中任一向量都可由其余向量线性表示.6.向量组12,,,m中任意两个向量都线性无关，则向量组线性无关.7.设向量组I：12,,,skkk是向量组II：12,,,p的部分组，如果向量组I线性相关，则向量组II也线性相关.8.设向量组I：12,,,skkk是向量组II：12,,,p的部分组，如果向量组I线性无关，则向量组II也线性无关.9.如果向量组112,,,,s线性无关，则向量组1,,s也线性无关.10.若有不全为零的数nkkk,,21使02211nnkkk，则n,,21线性无关.11.设向量组321,,线性无关,于是向量组133221,,也线性无关.12.设n维向量组s,,,21线性相关,于是向量组s,,,,21也线性相关,其中为一n维向量.13.设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)可互相线性表示,则秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ).14.设向量组s,,,21线性相关,则该向量组中一定含有零向量.三、计算题:1.设21112112144622436979A，求A的秩及列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用该最大无关组线性表示.2.已知(1,2,0)T可由1(1,1,2)T，2(0,1,1)T，3(2,3,)T唯一地线性表示，求λ.3.已知一个向量组为1311,4152,2312,1021,120154321，求该向量组的秩及该向量组的一个最大线性无关组,并把其余列向量用该最大无关组线性表示..4.判别向量组01211a，20142a，63113a，31304a是否线性相关？并求该向量组的最大无关组及该向量组的秩.5.设123(6,1,3),(,2,2),(,1,0)TTTaaa，求a为何值时，（1）321,,线性相关？（2）321,,线性无关？1.方程组2)1(2221)1(321321321kxxkkxxkxkxxxkkx，当k取何值时（1）无解？（2）有唯一解？（3）有无穷多解？并求出通解.2.当取何值时，非齐次线性方程组12312321231xxxxxxxxx(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解，并求通解.3.求方程组032030432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系及通解.4.用初等变换求120111002A的逆矩阵1A.5.当,ab取何值时，方程组12356xyzxyzaxybz,（1）无解？（2）有唯一解？（3）有无穷解？并求出通解.6.试问为何值时，非齐次线性方程组1231231231+x0131xxxxxxxx（）（）（）无解？有惟一解？无数个解？并写出通解.7.对于线性方程组123412341234212125xxxxxxxxxxxxa，设确定常数a，使得该线性方程组有解，并写出方程组的通解.8.取何值时，方程组223321321321xxxxxxxxx有唯一解，无解或有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解.