线性代数教案

第二节行列式的性质教学目的：熟练掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简行列式，利用“三角化”计算行列式，降阶法计算行列式．教学重点：行列式的性质，“三角化”、降阶法计算行列式．教学难点：字母型行列式的计算．教学方法：①通过实例讲解行列式的性质．②通过计算题讲解“三角化”、降阶法．教学时数：计划4学时，实际学时．教学过程分布图示★性质1★例1★性质2★例2★例3★性质3★例4★例5★性质4★例6★例7★性质5★例8★行列式的计算★例9★例10★例11★例12★例13★例14★例15★内容小结★课堂练习★作业内容要点一、行列式的性质将行列式D的行与列互换后得到的行列式,称为D的转置行列式,记为TD或'D,即若,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD则nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111.性质1行列式与它的转置行列式相等,即.TDD注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2交换行列式的两行(列),行列式变号.推论1若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.性质3用数k乘行列式的某一行(列),等于用数k乘此行列式,即.2121112112121112111kDaaaaaaaaakaaakakakaaaaDnnnniniinnnnniniin第i行(列)乘以k,记为ki(或kCi).推论2行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论3行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.性质4若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如,nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaD21221111211.则21212111211212111211DDaaacccaaaaaabbbaaaDnnnniniinnnnniniin.性质5将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式不变.注:以数k乘第j行加到第i行上,记作jikrr;以数k乘第j列加到第i列上，记作jikcc.二、行列式的计算计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算.例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0,先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0;然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例题选讲例1若210101321D,则.213102011DDT例2（1）012121110012110121（第一、二行互换）.（2）102110211012110121（第二、三列互换）（3）0725011011（第一、二两行相等）（4）0337224112（第二、三列相等）例3（1）02222510211因为第三行是第一行的2倍.（2）07541410053820141因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例4若121013201D,则D2121013201)2(121013402又D412101320141240112204.例5(E01)设,1333231232221131211aaaaaaaaa求.53531026333231232221131211aaaaaaaaa解利用行列式性质，有33323123222113121153531026aaaaaaaaa3332312322211312115353522aaaaaaaaa5)3(2333231232221131211aaaaaaaaa15)3(2.30例6（1）.110111311103111132（2）1)2(1272305)2(11121272305211122720521112730511.例7因为,12310403212213而15)40()29(02213123.因此0221312303212213.注:一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111bbbbaaaababababa.例8（1）13201013113214113112rr,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去,其值不变.（2）33204103113214113113cc,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去,其值不变.例9计算行列式2150321263D.解先将第一行的公因子3提出来：,21503242132150321263再计算.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213D例10(E02)计算.3351110243152113D解21ccD331511204351213114125rrrr7216011206480213132rr72160648011202131242384rrrr15100010800112021313445rr.40250001080011202131＝例11(E03)计算.3111131111311113D解注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321rrrr311113111131111163111131111316666141312rrrrrr.4820000200002011116注：仿照上述方法可得到更一般的结果:.)]()1([1nbabnaabbbbbabbbba例12(E04)计算.1111000000332211aaaaaaD解根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使4D中的零元素增多.4D12cc1121000000033221aaaaa23cc1321000000003321aaaa34cc.44321000000000321321aaaaaa例13(E05)计算.3610363234232dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD解从第4行开始，后一行减前一行：Drrrrrr33412.363023200cbabaacbabaacbabaadcba3423rrrr.20200baaabaaacbabaadcba34rr..00020004aabaacbabaadcba例14(E06)计算行列式.5021011321014321D解5021011321014321D313422rrrr5207011321014107527211417)1()1(2321232rrrr109211206.241861926)1(122例15(E07)计算行列式.0532004140013202527102135D解5320414013202135)1(2053200414001320252710213552D532414132101213)2(rrrr66027013210.1080)1242(206627)2(10课堂练习1.计算行列式.0112012120112110D2.计算n阶行列式.abbbbbabbbbaD作业习题1-21,2,4,5.