线性代数测试题及答案

补充练习三矩阵一、选择题：（1）设A和B均为n阶方阵，则必有（）。（A）|A+B|=|A|+|B|；（B）AB=BA（C）|AB|=|BA|（D）（A+B）-1=A-1+B-1（2）设A和B均为n阶方阵，且满足AB=0，则必有（）。（A）A=0或B=0（B）A+B=0（C）|A|=0或|B|=0（D）|A|+|B|=0（3）设333231232221131211aaaaaaaaaA，133312321131131211232221aaaaaaaaaaaaB，1000010101P，1010100012P，则必有（）。（A）AP1P2=B；（B）AP2P1=B；（C）P1P2A=B；（D）P2P1A=B（4）设n维行向量21,0,,0,21，矩阵TEA，TEB2，其中E为n阶单位矩阵，则AB=（）。（A）0；（B）E；（C）-E（D）TE（5）设n阶方阵A非奇异（n≥2），A*是A的伴随矩阵，则（）。（A）(A*)*=|A|n-1A；（B）(A*)*=|A|n+1A；（C）(A*)*=|A|n-2A；（D）(A*)*=|A|n+2A（6）设n阶方阵A、B、C满足ABC=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有（）。（A）ACB=E；（B）CBA=E；（C）BAC=E；（D）BCA=E（7）设44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaA，41424344313233342122232411121314aaaaaaaaaaaaaaaaB，00010100001010001P，10000010010000012P，其中A可逆，则B-1等于（）。（A）A-1P1P2；（B）P1A-1P2；（C）P1P2A-1；（D）P2A-1P1（8）已知96342321tQ，P为三阶非零矩阵，且满足PQ=0，则（）。（A）t=6时，P的秩必为1；（B）t=6时，P的秩必为2；（C）t≠6时，P的秩必为1；（D）t≠6时，P的秩必为2（9）设A是m×n矩阵，C是n阶可逆方阵，r(A)=r，矩阵B=AC的秩为r1，则（）。（A）r=r1（B）rr1（C）rr1（D）r与r1的关系依C而定（10）设A、B都是n阶非零矩阵，且AB=0，则A和B的秩（）。（A）必有一个等于0；（B）都小于n；（C）一个小于n，一个等于n；（D）都等于n（11）设矩阵Am×n的秩r(A)=mn，Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是（）。（A）A的任意m个列向量必线性无关；（B）A的任意一个m阶子式不等于零；（C）A通过初等行变换，必可化为（Em,0）形式；（D）非齐次线性方程组AX=B一定有无穷多组解。（12）设三阶矩阵abbbabbbaA，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有（）。（A）a=b或a+2b=0；（B）a=b或a+2b≠0；（C）a≠b且a+2b=0；（D）a≠b或a+2b≠0；二、填空题：（1）已知：)3,2,1(；31,21,1，设TA，其中T是的转置，则An=_____________。（2）设11334221tA，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则t=___________。（3）设101020101A，而n≥2为正整数，则An-2An-1=_______________。（4）设α为3维列向量，αT是α的转置，若ααT=111111111，则αTα=_________________。（5）设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为________________。（6）设A和B为可逆矩阵，00BAX为分块矩阵，则X-1=___________。（7）设n阶方阵A满足A2+A-4E=0，其中E为n阶单位矩阵，则（A-E）-1=___________________。（8）设矩阵3211A，B=A2-3A+2E，则B-1=_______________。（9）设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=2A+B，202040202B，则（A-E）-1=________________。（10）设n维向量Taa),0,,0,(，其中0a，E是n阶单位矩阵，TEA，TaEB1，其中A的逆矩阵为B，则a=_______________。三、已知三阶矩阵A的逆矩阵为：3111211111A，试求伴随矩阵A*的逆矩阵。四、设n阶矩阵A、B满足条件A+B=AB，（1）证明：A-E为可逆矩阵，其中E为n阶单位矩阵；（2）已知200012031B，求A。五、已知矩阵111011001A，011101110B且矩阵X满足：AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中E是三阶单位矩阵，求X。六、已知A、B为三阶矩阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是三阶单位矩阵。（1）证明：A-2E可逆；（2）若200021021B，求A《线性代数》补充练习三参考答案一、（1）C（2）C（3）C（4）B（5）C（6）D（7）C（8）C（9）A（10）B（11）D（12）C二、（1）123332123121131n（2）-3（3）0（4）3（5）0（6）0011AB（7）)2(21EA（8）11210（9）001010100（10）-1三、101022125||)(11*AAA四、（1）∵A+B=AB∴AB-A-B+E=E即：（A-E）（B-E）=E∴A-E可逆，且(A-E)-1=B-E，(B-E)-1=A-E（2）A=E+(B-E)-1=20001310211五、∵AXA+BXB=AXB+BXA+E∴（AXA-AXB）+（BXB-BXA）=EAX（A-B）+BX（B-A）=EAX（A-B）-BX（A-B）=E（AX-BX）（A-B）=E（A-B）X（A-B）=E……（*）又∵|A-B|=1≠0∴A-B可逆，且可求出100110211)(1BA，对（*）式两端左乘(A-B)-1，右乘(A-B)-1，得：100210521)(21BAX。六、（1）∵2A-1B=B-4E，左乘A，得：2B=AB-4A，即：AB-2B-4A=0∴（A-2E）（B-4E）=8E即：EEBEA)4(81)2(故A-2E可逆，且)4(81)2(1EBEA（2）∵)4(81)2(1EBEA∴A-2E=8(B-4E)-1∴200011020)4(821EBEA