线性代数的应用

线性代数的应用西安理工大学应用数学系内容提纲本篇通过三个具体的应用实例介绍线性代数在工程技术、经济管理等领域中的应用，并给出利用Matlab软件来求解这些具体问题的方法。药方配制问题交通流量分析人口迁徙问题一、药方配制问题通过中成药药方配制问题，达到理解向量组的线性相关性、最大线性无关组向量的线性表示以及向量空间等线性代数的知识问题：某中药厂用9种中草药（A-I），根据不同的比例配制成了7种特效药，各用量成分见表1（单位：克）1号成药2号成药3号成药4号成药5号成药6号成药7号成药A10214122038100B1201225356055C531105140D79255154735E012255336F255355355550G94172523925H651610103510I821202620一、药方配制问题（1）某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号药和第6号药已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。（2）现在该医院想用这7种草药配制三种新的特效药，表2给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？1号新药2号新药3号新药A4016288B6214167C14278D4410251E53607F5015580G7111838H416821I145230一、药方配制问题解：（1）把每一种特效药看成一个九维列向量，分析7个列向量构成向量组的线性相关性。若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；若向量组线性相关，并且能找到不含的一个最大线性无关组，则可以配制3号和6号药品。36,uu一、药方配制问题在Matlab窗口输入u1=[10;12;5;7;0;25;9;6;8];u2=[2;0;3;9;1;5;4;5;2];u3=[14;12;11;25;2;35;17;16;12];u4=[12;25;0;5;25;5;25;10;0];u5=[20;35;5;15;5;35;2;10;0];u6=[38;60;14;47;33;55;39;35;6];一、药方配制问题u7=[100;55;0;35;6;50;25;10;20];U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7][U0,r]=rref(U)计算结果为一、药方配制问题U0=r=124571010000从最简行阶梯型U0中可以看0120030出，R（U）=5，向量组线性0001010相关，一个最大无关组为0000110u1，u2，u4，u5，u7，0000001u3=u1+2u2四个零行u6=3u2+u4+u5故可以配制新药一、药方配制问题（2）三种新药用v1，v2，v3表示，问题化为v1，v2，v3能否由u1-u7线性表示，若能表示，则可配制；否则，不能配制。令U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3][U0,r]=rref(U)由U0的最后三列可以看出结果一、药方配制问题计算结果为可以看出v1=u1+3u2+2u4v2=3u1+4u2+2u4+u7v3不能被线性表示，所以无法配制0101000013001200303400001010220000011000000000010100000000001000000000000000000000000000000U1,2,4,5,7,10r二、交通流量的分析通过一个简单的城市交通模型，练习方程组的建立与求解问题：某城市有如图的交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车流量。针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等。请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量xi（i=1,2,3,4）二、交通流量的分析4x1x2x260251DC3203573x360260AB220292单行道4节点交通图二、交通流量的分析解：根据已知条件，得到各节点的流通方程A：B：C：D：12360260xx23220292xx34320357xx41260251xx二、交通流量的分析整理得方程组为在Matlab窗口输入1223341410072379xxxxxxxx[1,1,0,0;0,1,1,0;0,0,1,1;1,0,0,1];A[10;72;37;9];b二、交通流量的分析计算结果为([,])UrrefAb10010010110900113700000U二、交通流量的分析4x142434910937xxxxxx三、人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？三、人口迁徙模型这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示。一年以后，市区人口为xc1(10.06)xc00.02xs0，郊区人口xs10.06xc0(10.02)xs0用矩阵乘法来描述，可写成：11010.940.020.30.29600.060.980.70.7040csxxAxx三、人口迁徙模型从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为输入：A[0.94,0.02;0.06,0.98],x0[0.3;0.7]x1A*x0,x10A^10*x0,x30A^30*x0,x50A^50*x0得到：2120kkkkxAxAxAx11030500.29600.27170.25410.2508,,,,0.70400.72830.74590.7492xxxx三、人口迁徙模型本题特征值和特征向量的意义：无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A的效果，先求A的特征值和特征向量，得到0.92000-0.7071-0.3162,01.00000.7071-0.9487lamdae三、人口迁徙模型令它是特征向量的整数化，得到1211,13uu0210.250.05(0.92)kkkxAxuu四、其他应用：情报检索模型情报检索模型：假如数据库中包括了n个文件，而搜索所用的关键词有m个。可以把数据库表示为mn的矩阵A。比如有7本书，6个关键词x（初等，代数，矩阵，理论，线性，应用）：则A就是6×7的矩阵。书名中有此关键词的就将该对应元素置1。搜索结果可以表示为乘积yATx，它是n×1列向量。于是y的各个分量就表示各书与搜索向量匹配的程度。y值最大的元素对应于匹配最好的书籍，是读者可能最需要的。四、产品成本的计算：产品成本的计算：某厂生产三种成品，每件产品的成本及每季度生产件数已知。试提供该厂每季度在每种产品上的成本表。成本矩阵为M，季度产量矩阵为P0.100.300.150.300.400.25,0.100.200.15400045004500400020002800240022005800620060006000MP四、产品成本的计算将M和P相乘，得到的矩阵设为Q，Q的第一行第一列元素为Q(1,1)0.140000.320000.1558001870不难看出，Q表示了夏季消耗的原材料总成本。从线性变换的角度来看，Q矩阵把以件数为单位的产品空间映射到了以元为单位的成本空间。187022202070196034504020381035801670194018301740Q四、用逆阵进行保密编译码在英文中有一种对消息进行保密的措施，就是把英文字母用一个整数来表示。然后传送这组整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能对应于字母E。可以用乘以矩阵A的方法来进一步加密。假如A是一个行列式等于±1的整数矩阵，则A1的元素也必定是整数。而经过这样变换过的消息，同样两个字母对应的数字不同，所以就较难破译。接收方只要将这个消息乘以A1就可以复原。四、网络和图图为1，2，3，4四个城市之间的空运航线，用有向图表示。则该图可以用下列航路矩阵表示：经过一次转机（也就是坐两次航班）能到达的城市，可以由邻接矩阵的平方A2A1^2来求得。00111000101001010A001100111110100010000011211010001001000101010100111AAA四、信号流图模型信号流图是用来表示和分析复杂系统内的信号变换关系的工具。右图方程如下：写成矩阵方程x=QxPu移项整理，可以得到求信号向量x的公式。ux1x2-G2G11212120100xGxuxGx122211xuGxxGx，四、信号流图模型(I–Q)x=Pu，x=inv(I–Q)*Pu定义系统的传递函数W为输出信号与输入信号之比x/u，则W可按下式求得：W=x/u=inv(I–Q)*P221110010101GGIQGG2111211()11GIQGGG1121121/1//1xuxuIQPxuGGG四、平板稳态温度的计算(1020)/4(2040)/4(1030)/4(4030)/4abcbadcaddbcxxxxxxxxxxxx10.250.2507.50.25100.25150.25010.251000.250.25117.5abcdxxxx四、化学方程的配平确定x1,x2,x3,x4，使两边原子数相等称为配平，方程为写成矩阵方程138223242()()()()xCHxOxCOxHO1234301080020221xxxx12343010080020002210xxAxxx-四、现代飞行器外形设计例把飞行器的外形分成若干大的部件，每个部件沿着其表面又用三维的细网格划分出许多立方体，这些立方体包括了机身表面以及此表面内外的空气。对每个立方体列写出空气动力学方程，其中包括了与它相邻的立方体的共同边界变量，这些方程通常都已经简化为线性方程。对一个飞行器，小立方体的数目可以多达400,000个，而要解的联立方程可能多达2,000,000个。四、卫星遥感图象处理卫星上用三种可见光和四种红外光进行摄像，对每一个区域，可以获得七张遥感图象。利用多通道的遥感图可以获取尽可能多的地面信息，因为各种地貌、作物和气象特征可能对不同波段的光敏感。而在实用上应该寻找每一个地方的主因素，成为一张实用的图象。每一个象素上有七个数据，形成一个多元的变量数组，在其中合成并求取主因素的问题，就与线性代数中要讨论的特征值问题有关。