线性代数知识点整理

pnppnnnnnnnnpapapaaaaaaaaaaD212211212222111211)1(逆序数（1）行列中两个数一次对换改变奇偶性（2）全部n（n≥2）级排列中奇偶各占一半，2!n个；n!项相加，每项n个数相乘行列式性质：（1）D=DT（2）某行（列）提公因数k出来（3）任意互换两行（列），值变号，r行j列（4）两行（列）元素成比例，D=0（5）某一行（列）全为0，D=0（6）可拆（7）某一行（列）×k＋另一行（列），值不变反对称行列式：0000yxncbcanbaD=0余子式：划去aij，所剩Mij；代数余子式：Aij=(-1)i+jMijD=ai1Ai1+ai2Ai2+……+ainAin（按行展开）D=a1jA1j+a2jA2j+……+anjAnj（按列展开）（1）各元素与其代数余子式乘积的和（2）某一行（列）元素×另一行（列）对应代数余子式之和=0上（下）三角：nabnbaD副对角：nababnDnn2)1()1(范德蒙：的乘积所有满足)(1)(1111112112222121ijnjiijnnnnnnxxnjixxxxxxxxxxx拉普拉斯展开式：babcacban元线性方程组：（1）D＝Dn≠0→唯一解njDDxjj2,1,（2）D＝Dn≠0→齐次方程“零解”D＝Dn＝0→齐次方程“非零解”方（矩）阵：m=n零矩阵：000000000上三角：nnaaa2211＊下三角：nnaaa＊2211对角：nnaaa2211数量：aaa单位：111对称：0000nbanba反对称：0-0-0-0nbanba（主对角线必为0）矩阵加法：（1）ABBA（2）AA（3）)()(CBACBA（4）（矩阵）AA矩阵数乘：(1))(AA）（（2）AAA）（（3）BABA)(（4）（矩阵）A0矩阵乘法：（1）CmsBnsAmn（2））（）（）（BABAAB（3）ACABCBA)(（3）CABAACB)(（不满足交换律！）（5）存在Im、In，使得AAIAInnmm方阵的幂：（1）AAAAn（2）nmnmAAA（3）mnnmAA）（方阵多项式：nmmmmIaAaAaAaAf0111)(矩阵转置：（1）AATT）（（2））（）（TTAA（3）TTTBABA）（（4）TTTABAB）（（5）22TTAAAAA（6）为对称矩阵AAAT（7）为反对称矩阵AAAT方阵行列式：（1）AAT（2）AAn（3）BAAB伴随矩阵（各元素代数余子式）：nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*（注意下标！）IAAAAA**逆矩阵：（1）1AABIBAAB的是（2）*101AAAAA可逆（3）所有2×2，abcdAdcbaA*（4）nnaaaAAaaaA111021121，则，若所有对角（5）AA11）（（6）TTAA）（）（11（7）1110AA），（（8）AA11（9）111ABAB）（（10）kkAA）（1解矩阵方程：AX=B(1)）所求矩阵单位矩阵（）矩阵矩阵（XIBA（2）代回验证线性表出。，，，可由向量组或称的线性组合，，，，是向量组成立，则称，使得，，，维向量组，若存在为，，，，设sssssskkkkkkn212122112121关。线性相关，否则线性无，，，，则称，使得，，，为零的维向量组，若存在不全为，，，设ssssskkkkkkn21221121210）的一个极大无关组。）是（则（）表出，中每个向量可由（）线性无关（）（满足：，，，））的一部分向量组（向量组（2121r。，，，，记作个数称为该向量组的秩的极大无关组所含向量，，，向量组)(2121mmr（1）根据提议构造矩阵（2）化为阶梯形（3）秩r=非全零行（列）个数（4）线性表出零行向量组线性方程组解法：（1）高斯消元法（2）对增广矩阵施以初等变换得到最简阶梯形再改写新方程组表示关系给任意量赋值线性方程组解的判定(A:系数矩阵；A,b：增广矩阵)：（1）r(A)≠R(A,b)无解（2）r(A)=R(A,b)=未知量个数唯一解（3）r(A)=R(A,b)＜未知量个数无穷多解齐次线性方程组解的结构：（1）同上（对增广矩阵施以初等变换得到最简阶梯形），再分别写出每个未知量的表达式，x3=x3也要，此时注明x3是自由未知量（2）写出通解和基础解系如：是自由未知量，，其中434433432310020xxxxxxxxxxx，通解为：)(1020011121214321为任意常数、ccccxxxx，基础解系为：TT），，，（，，，，1020)0111(21