线性代数知识点集锦

课时授课计划课次序号：8一、课题：矩阵的初等变换与初等矩阵二、课型：课堂讲授三、目的要求：熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价的概念。知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系。掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法。四、重点、难点：矩阵初等变换的方法；用初等变换求逆矩阵的方法。五、教学方法及手段：采用课堂讲授的方法，并以多媒体课件辅助。六、参考资料：《线性代数学习辅导与习题选解》，同济大学应用数学系编，高等教育出版社《线性代数学习与考试指导》，赵树源编，中国人民大学出版社《工程数学例题与习题》，工程数学课程教学指导委员会本科组编，高等教育出版社七、作业：P791(1)(3),4八、授课记录：九、授课效果分析：授课日期班次十、教学进程（教学内容、教学环节及时间分配等）1、复习回顾高中阶段用消元法解线性方程组所用到的几种运算。2、导入课题矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组，求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到重要的作用。为引进矩阵的初等变换，先来回忆一下以前所接触的用消元法解线性方程组。在用消元法解线性方程组的时候，用到三种变换，即：交换方程的次序；以不等于零的数乘某个方程；一个方程加上另一个方程的k倍。由于这三种变换都是可逆的，所以变换前后的方程组是同解的。在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并没有参与运算。因此把线性方程组的系数和常数放在一个数表里，构成方程组的增广矩阵，即,BAb，那么上述对方程组的变换完全可以转化为对增广矩阵的变换。把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换。3、教学内容定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）对调两行（对调,ij两行，记作ijrr）（2）以数0k乘某一行中的所有元素（第i行乘k，记作irk）（3）把某一行中所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第j行的倍加到第i行上，记作ijrkr）把定义中的行换成列，即得矩阵初等列变换的定义。初等行变换与初等列变换统称初等变换。显然，三种初等变换都是可逆的，而且其逆变换是同一类型的初等变换。如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A和B是等价的，记作AB。矩阵之间的等价关系具有下列性质：（1）反身性AA；（2）对称性若,AB则BA；（3）传递性若,,ABBC则AC。定义：矩阵A称为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。行阶梯形矩阵B称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。对行最简形矩阵再进行初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准型rmnEOFOO。例1：设021302,230A把(,)AE化成行最简形。021100(,)302010230001302010302010021100021100094023001946AE解：30018912100634020846010423001946001946上式最后一个矩阵即为矩阵(A,E)的行最简形。矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，它有着广泛的应用。下面我们进一步介绍一些有关知识。定义2由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵。1.对调两行或对调两列把单位矩阵中第,ij两行（列）对调，得初等矩阵11011(,)11011Eij用m阶初等矩阵(,)mEij左乘矩阵(),ijmnAa得11121121212(,)njjjnmiiinmmmnaaaaaaEijAaaaaaa其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第i行与第j行对调。类似的，以n阶初等矩阵(,)nEij右乘矩阵A，其结果相当于对矩阵A施行第一种初等列变换。2.以数0k乘某行或某列以数0k乘单位阵的第i行（或第列）11(())11Eikk第i行可以验知：以(())mEik左乘矩阵A，其结果相当于以数k乘A的第i行；以(())nEik右乘矩阵A，其结果相当于以数k乘A的第j列。3.以数k乘某行（列）加到另一行（列）上去以k乘E的第j行加到第i行上或以k乘E的第i列加到第j列上，得初等矩阵11(())11kEijk可以验知：以(())mEijk左乘矩阵A，其结果相当于把A的第j行乘k加到第i行上，以(())nEijk右乘矩阵A，其结果相当于把A的第i列乘加到第j列上。综上所述，可得下述定理。定理1设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。因为初等变换是可逆的，所以其对应的初等矩阵也是可逆的，并且1111(,)(,),(())(()),(())(())kEijEijEikEiEijkEijk定理2方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵12,,,lPPP，使12.lAPPP（证明略）推论1方阵A可逆的充要条件是AE。推论2mn矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQB.设有n阶矩阵A及ns矩阵B，求矩阵X使AXB。如果A可逆，则1XAB。而当A可逆时，根据定理2，有初等矩阵12,,,lPPP，使12lAPPP，从而1111lAPP。于是1111111,llPPAEPPBAB上式表明A经一系列初等行变换化为E，B经同一系列初等行变换化成1AB，即1111(,)(,)lPPABEAB例2：求解矩阵方程,AXAX其中220213010A解：把所给方程变形为()AEXA120220(,)203213011010AEA120220120220011010011010043233001213100226010203001213可见,AEE因此AE可逆，且1226()203213XAEA.4、课堂总结矩阵的初等变换与初等矩阵是线性代数里最基本的运算，在后面几章中都需要用到这种运算。5、布置作业P791(1)(3),4