线性代数第一章练习题(答案)

第一章练习题1:设1x，2x，3x是方程3x+0qpx的三个根，计算行列式132213321xxxxxxxxx解：由于1x，2x，3x是方程3x+0qpx的三个根，从而))()((3213xxxxxxqpxx32132312123213)()(xxxxxxxxxxxxxxx可见0321xxx，故133212132132321132213321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx0000132132xxxxxx2:计算3211214114314321103214214314324321D1601110222031104321103:计算xxxxD43214321432143214(第一列乘（-4）加到第四列，依次类推)xxxxxxxD0010010014321（按最后一行展开）0000432xxxxxxxxxxx01013213)10(xx4:计算4321axxxxaxxxxaxxxxaD（第三行乘（-1）加到第四行，第二行乘（-1）加到第三行，依次类推）xaaxxaaxxaaxxxxa4332211000000（按第一列展开）xaaxxaaxxaa4332210000xaaxxaaxxxxax4332100)())(())(())(()())()((42433214321axaxaxaxaxaxaxxxaxaxaa5:用行列式定义计算0000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD6:,4cdbaacbdadbcdcbaD设四阶行列式44342414AAAA则01111dbacbddbccba7.nnDn00103010021321求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA解：nAAA11211n001030100211111（最后一行乘（n1）加到第一行，依次类推，第二行乘（21）加到第一行）nnn0010301002100021311111nkkn2)11(!8．例1:设f(x)=c0＋c1x＋c2x2＋…＋cnxn,用克莱姆法则证明f(x)若有n＋1个不同的根,则f(x)是零多项式.证：设)1,,2,1(niai是)(xf的1n个不同的根，即)(jiaaji，则由)1,,2,1(0)(niafi，得000121211022222101212110nnnnnnnnnacacaccacacaccacacacc该方程组的系数行列式是范德蒙行列式的转置，即nnnnnnaaaaaaaaaD1212112222111110)(11jijinaa由Cramer法则知，上述方程组只有唯一零解，即010nccc，故0)(xf证明：EAAAAA**证：设)(ijaA，记)(*ijbAA，则ijjninjijiijAAaAaAab2211故nnnnnnaaaaaaaaaAA212222111211*nnnnnnAAAAAAAAA212221212111EAAAA000000