线性代数第一章行列式作业参考解答

第一章行列式作业参考解答3.如果排列nxxx21是奇排列,则排列11xxxnn的奇偶性如何？解：排列11xxxnn可以通过对排列nxxx21经过(1)(1)(2)212nnnn次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当2)1(nn为偶数时，排列11xxxnn为奇排列，当2)1(nn为奇数时，排列11xxxnn为偶排列。4.写出4阶行列式的展开式中含元素13a且带负号的项.解：含元素13a的乘积项共有13223144(1)taaaa，13223441(1)taaaa，13213244(1)taaaa，13213442(1)taaaa，13243241(1)taaaa，13243142(1)taaaa六项，各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t，(3241)4t，(3124)2t，(3142)3t，(3421)5t，(3412)4t，故所求为132231441aaaa，132134421aaaa，132432411aaaa。5.按照行列式的定义,求行列式nn000000100200100的值.解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有1,12,21,1(1)tnnnnnaaaa，其中(1)(2)[(1)(2)21]2nntnnn，故行列式的值等于：(1)(2)2(1)!nnn6.根据行列式定义,分别写出行列式xxxxx111123111212的展开式中含4x的项和含3x的项.解：展开式含4x的乘积项为0411223344(1)(1)22taaaaxxxxx含3x的乘积项为1312213344(1)(1)1taaaaxxxx8.利用行列式的性质计算下列行列式：解：(1)4113112342112341111111141023412341012110310()3412341201212412341230321rrrrrrrrrrr4243321111111130121012110101011(4)(4)1600040004100440004rrrrrr(2)26052321121314121231211241124113210562202132035005620562ccrrrr（第二行与第四行相同）(3)22231132222221111111222202221110aabbraraabbrraabbbabararaabbababa2332111111()()012()012()000babararbaabababa(4)3421211110011001111111111111111000011111111111111xxxrrxxxxrrxxxxxx41224432111001100011011001100110011000rrxxxrrxxrrxx9.若540030087654321x=0,求.x解：12341500567826001544(512)003374263500454835xxxx转置即有：124(512)05xx11.利用行列式按行或列展开的方法计算下列行列式：解：(2)124310010110(1)(1)010110110011aaaaaDaDaaaaaaa按第一行展开11323212(1)(1)(1)(1)(1)]nnnaDaDaDaDDaDaD[一般地有221221(1)[(1)](1)(1)aaDaDaDaaDaaD，其中：2221(1)111aaDaaaaa，111Daa.带入上式即可。12.设4阶行列式cdbaacbdadbcdcbaD4，求44342414AAAA.解：显然，行列式1111abccbddbcabd按第四列展开，即得44342414AAAA。注意到该行列式的第四列与第一列元素成比例，其值为0，故142434440AAAA.14.当、取何值时，齐次线性方程组0200321321321xxxxxxxxx有非零解？解：当系数行列式1111201121100(1)00121121D时，齐次线性方程组有非零解，于是要求10或B15.计算下列行列式:(1)11221111111011111101111110111nnaaaaaa（加边法）11122111111111100000100000100000niinnaaaaaaa（第二列的11a倍……第1n列的1na倍都加到第一列）1211(1)nniiaaaa按第一列展开(2)1000000000000(1)0000000000nnxyxyyxyxxyDxyxyxyyx按第一列展开1(1)nnnxy(3)12122212222222222022223212232023222222022ccnnn展开1121122122132012222(2)!12002nrrnrrnn(4)1111111111(1)()(1)(1)()()[(1)]1()[(1)]111nnnnnnnnnnnnnaaanananaaaanDananaaaananana记121,(1),nxanxanxa，由范德蒙行列式的结论可知，11()njinDij.