线性代数第二章第二节答案

性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题1．设A是n阶矩阵A的伴随矩阵，则[B]（A）1AAA（B）1nAA（C）AAn)(（D）0)(A注：没有说A可逆，所以（A）错。（B）当A可逆可以由可逆矩阵与伴随矩阵的关系式取行列式推出，当A不可逆时，A的伴随矩阵A也不可逆，此时两个矩阵的的行列式值均等于0.2．设A，B都是n阶可逆矩阵，则[C]（A）A+B是n阶可逆矩阵（B）A+B是n阶不可逆矩阵（C）AB是n阶可逆矩阵（D）|A+B|=|A|+|B|3．设A是n阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是[C]（A）AA（B）AA（C）AAn（D）AAn4．设A，B，C是n阶矩阵，且ABC=E，则必有[B]（A）CBA=E（B）BCA=E（C）BAC=E（D）ACB=E注：因为E=ABC=A（BC），所以BC与A互逆，所以BCA=E，即（A）是正确答案。同理以下也是正确答案：BCA=E，CAB=E5．设n阶矩阵A，B，C，满足ABAC=E，则[A]（A）ECABATTTT（B）ECABA2222（C）ECBA2（D）EBCA2注：由ABAC=E有TTTTTTTTTCABACABAABACABACE)()()(二、填空题：1．已知ABAB，其中1221B，则A10.50.51注：BEBABAABABAB)(，,04||,0220EBEB所以EB可逆，由两调一除法可得,02/12/10)(1EB1)(EBBA122102/12/10=10.50.512．设12643152X，则X=21304注：由于1264215312643152126431521XX21304求逆矩阵时用到了两调一除法。3．设A，B均是n阶矩阵，2A，3B，则12BA=21123n注：,2||11AAAA所以11111||||4222BABABAn=21123n4．设矩阵A满足042EAA，则1)(EA(2)/2AE注：EEAEAEAA)22)((042，所以1)(EA(2)/2AE三、计算与证明题：1．设方阵A满足022EAA，证明A及EA2都可逆，并求1A和12)(EA证明：1(),||||=10222AEAEAEAAEAA－两边取行列式，可逆＝133(2)(),|(2)||()|104432(2)4AEAEAEEAEAEAEAE－两边取行列式可逆＝2．设145243121A，求A的逆矩阵1A解：*420||20,A136132142AA所以可逆，（注意代数余子式的计算及排列）*12106.530.5||1671AAA3．设321011330A且满足BAAB2，求B4．解：(2)AEBA由题意，，（注意左乘还是右乘）|A-2E|=210.51.51.5033(2)0.50.51.51230.50.50.5110BAEA则=033123110233(2)110121AE10.51.51.5(2)0.50.51.50.50.50.5AE