线性代数第五习题答案详解

1第五章n维向量空间习题一1．解：a-b=a+(-b)=(1,1,0)T+(0,-1,-1)T=(1,0,-1)T3a+2b-c=3a+2b+(-c)=(3,3,0)T+(0,2,2)T+(-3,-4,0)T=(0,1,2)T2．解：3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)3a1+2a2+(-3+2)a=5a3+5a3a1+2a2+(-a)=5a3+5a3a1+2a2+(-a)+a+(-5)a3=5a3+5a+a+(-5)a33a1+2a2+(-5)a3=6a61[3a1+2a2+(-5)a3]=616a21a1+31a2+(-65)a3=a将a1=(2,5,1,3)T,a2=(10,1,5,10)T,a3=(4,1,-1,1)T代入a=21a1+31a2+(-65)a3中可得：a=(1,2,3,4)T.3．(1)V1是向量空间.由(0,0,…,0)V1知V1非空.设a=(x1,x2,…,xn)V1,b=(y1,y2,…,yn)V1,则有x1+x2+…+xn=0，y1+y2+…+yn=0.因为(x1+y1)+(x2+y2)+…+(xn+yn)=(x1+x2+…+xn)+(y1+y2+…+yn)=0所以a+b=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)V1.对于kR，有kx1+kx2+…+kxn=k(x1+x2+…+xn)=0所以ka=(kx1,kx2,…,kxn)V1.因此V1是向量空间.(2)V2不是向量空间.因为取a=(1,x2,…,xn)V2,b=(1,y2,…,yn)V2,但a+b=(2,x2+y2,…,xn+yn)V2.因此V2不是向量空间.习题二1．求向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式：(1)解：设向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为：b=k1a1+k2a2+k3a3+k4a4其中,k1,k2,k3,k4为待定常数.则将b=(0,2,0,-1)T,a1=(1,1,1,1)T,a2=(1,1,1,0)T,a3=(1,1,0,0)T,a4=(1,0,0,0)T向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式中可得：(0,2,0,-1)T=k1(1,1,1,1)T+k2(1,1,1,0)T+k3(1,1,0,0)T+k4(1,0,0,0)T2根据对分量相等可得下列线性方程组：10201213214321kkkkkkkkkk解此方程组可得：k1=－1,k2=1,k3=2,k4=－2.因此向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为：b=－a1+a2+2a3－2a4.(2)与(1)类似可有下列线性方程组：121332223212143214321kkkkkkkkkkkkk由方程组中的第一和第二个方程易解得：k2=4,于是依次可解得：k1=-2,k3=-9,k4=2.因此向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为：b=－2a1+4a2－9a3+2a4.2．(1)解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论2知a1,a2,a3,a4线性相关.(2)解：400510111220510111331621111321aaa因为3321aaaR所以a1,a2,a3线性无关.(3)解：00021011142012601117131442111321aaa因为32321aaaR所以a1,a2,a3线性相关.(4)解：500410111320410111211301111321aaa因为3321aaaR3所以a1,a2,a3线性无关.3.证明：假设有常数k1,k2,k3,使k1b1+k2b2+k3b3=0又由于b1=a1,b2=a1+a2,b3=a1+a2+a3,于是可得k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0即(k1+k2+k3)a1+(k2+k3)a2+k3a3=0因为a1,a2,a3线性无关，所以有000332321kkkkkk解得000321kkk因此向量组b1,b2,b3线性无关.4.设存在常数k1,k2,k3,k4使k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0因为b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1于是可得：k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4+a1)=0整理得：(k1+k4)a1+(k2+k1)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0，（下用两种方法解）法一：因为a1,a2,a3,a4为同维向量，则(1)当向量组a1,a2,a3,a4线性无关时，k1+k4=0，k2+k1=0，k2+k3=0，k3+k4=0可解得：k2=-k1，k4=-k1，k3=k1取k10可得不为0的常数k1,k2,k3,k4使k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0因此b1,b2,b3,b4线性相关。(2)当向量组a1,a2,a3,a4线性相关时，k1+k4，k2+k1，k2+k3，k3+k4中至少存在一个不为0，因此易知k1,k2,k3,k4不全为0，于是可得b1,b2,b3,b4线性相关。法二：因为a1,a2,a3,a4为任意向量，所以当000043322141kkkkkkkk，而该方程组的系数矩阵对应的行列式01100011000111001，所以有非零解4所以b1,b2,b3,b4线性相关。5.证明：假使向量组b1,b2,…,bm线性相关.即存在不全为0的常数k1,k2,…,km,使：k1b1+k2b2+…+kmbm=0由题意不妨设a1=(a11,a12,…,a1r),a2=(a21,a22,…,a2r),…………………,am=(am1,am2,…,amr)则相应地，b1=(a11,a12,…,a1r,a1r+1,…a1n),b2=(a21,a22,…,a2r,a2r+1,…a2n),…………………,bm=(am1,am2,…,amr,amr+1,…amn)由k1b1+k2b2+…+kmbm=0可得：k1a11+k2a21+…+kmam1=0k1a12+k2a22+…+kmam2=0…………………,k1a1r+k2a2r+…+kmamr=0k1a1r+1+k2a2r+1+…+kmamr+1=0…………………,k1a1n+k2a2n+…+kmamn=0去前面r个分量可得：k1(a11,a12,…,a1r)+k2(a21,a22,…,a2r)+…+km(am1,am2,…,amr)=0即k1a1+k2a2+…+kmam=0由假设知k1,k2,…,km不全为0，因此a1,a2,…,am线性相关，此与a1,a2,…,am线性无关相矛盾，结论得证.习题三1．(1)解：对矩阵进行初等行变换为48203225134539475132539475431731255310531032104317312500002100321043173125该矩阵的秩为3，矩阵的第1,2,3列是它的列向量组的一个极大无关组.(2)解：对矩阵进行初等行变换为5011110001110200121101000111020011200100011102001该矩阵的秩为4，因此矩阵的第1,2,3,4列是它的列向量组的一个极大无关组.2．(1)解：以a1,a2,a3为列作矩阵A：A=74316514312110551189940001005100940001该矩阵的秩为2,它的一个极大无关组为a1,a2(3)解：以a1,a2,a3为列作矩阵A=300021001该矩阵为下三角矩阵，其0A，因此该矩阵的秩为3,它的一个极大无关组为向量组本身.(4)解：以a1,a2,a3,a4,a5为列作矩阵A,00000222001512012211222000000015120122112220015120151201221114011313021512012211A矩阵A的秩为3,矩阵A的第1,2,3列构成它的一个极大无关组，3.证明：（法一）设saaaA,,,:21；tbbbB,,,:21，且rBRAR)()(tsbbbaaaC,,,,,,,:2121向量组C能被A表示，而A也能被C表示所以)()()(BRrARCR6取向量组B的极大无关组为：riiibbb,,,21，它也是向量组C的极大无关组所以向量组C能由向量组riiibbb,,,21线性表示，所以向量组C能由向量组B线性表示，所以向量组A能由向量组B线性表示，加上题设条件，所以向量组A与向量组B等价。（法二）设向量组B和A的秩均为r,且设它们的一个极大无关组分别为(b1,b2,…,br),(a1,a2,…,ar).则由极大无关组的性质可知：一个向量组的所有向量都可由它的一个极大无关组的向量线性表示.因此要证明向量组A与B等价，只证明a1,a2,…,ar可由b1,b2,…,br线性表示即可.因为B可由A线性表示，不妨设b1=c11a1+c12a2+…+c1rarb2=c21a1+c22a2+…+c2rar………………br=cr1a1+cr2a2+…+crrar不妨设存在常数k1,k2,…,kr使k1b1+k2b2+…+krbr=0于是可得：(k1c11+k2c21+…+krcr1)a1+(k1c12+k2c22+…+krbr2)a2+…+(k1c1r+k2c2r+…+krbrr)ar=0由a1,a2,…,ar线性无关可得：k1c11+k2c21+…+krcr1=0k1c12+k2c22+…+krbr2=0………………k1c1r+k2c2r+…+krbrr=0把k1,k2,…,kr当作未知数，当k1,k2,…,kr只有0解时，b1,b2,…,br线性无关.要k1,k2,…,kr只有0解，当且仅当ijc0(i=1,…,r,j=1,2,…,r),即C=rrrrrrccccccccc212222111211即矩阵C的秩为r,存在逆矩阵C-1.设C-1=rrrrrrccccccccc212222111211又因为rbbb21=Craaa21,则7C-1rbbb21=C-1Craaa21即raaa21=C-1rbbb21因此有：a1=11cb1+12cb2+…+rc1bra2=21cb1+22cb2+…+rc2br………………ar=1rcb1+2rcb2+…+rrcbr也即说明，a1,a2,…,ar可由b1,b2,…,br线性表示，因此结论成立.4.证明：(1)必要性.若a是任一n维向量，由于n+1个n维向量a1,a2,…,an,a必线性相关，而a1,a2,…,an线性无关，故a必可由a1,a2,…,an线性表示.(2)充分性.因为任一n维向量都能由a1,a2,…,an线性表示，则特别地n维单位坐标向量e1,e2,…,e