线性代数第四章练习题

第四章练习题一、选择题1.若向量组,,线性无关，向量组,,线性相关，则下列结论中正确的是().(A)必可由,线性表示；(B)必不可由,,线性表示；(C)必可由,线性表示；(D)必不可由,线性表示.2.设向量组I：12,,,r可由向量组II：12,,,s线性表示，则下面结论中正确的是().(A)当rs时，向量组II必线性相关；(B)当rs时，向量组II必线性相关；(C)当rs时，向量组I必线性相关；(D)当rs时，向量组I必线性相关.3.设齐次线性方程组0AX和0BX，其中,AB都是mn阶矩阵，现有四个命题（1）设0AX的解均是0BX的解，则秩()A秩()B;（2）若秩()A秩()B，则0AX的解均是0BX的解；（3）若0AX与0BX同解，则秩()A秩()B;（4）若秩()A秩()B，则0AX与0BX同解.以上命题正确的是()(A)(1)(2);(B)(1)(3);(C)(2)(4);(D)(3)(4).4.n元向量组12,,,(3)ssn线性无关的充要条件是（）（A）12,,,s中任何两个向量都线性无关；（B）存在不全为零的s个数12,,,skkk，使得11220sskkk；（C）12,,,s中存在一个向量不能用其余向量线性表示；（D）12,,,s中任何一个向量都不能用其余向量线性表示.二、填空题1.设A是54阶矩阵，()3rA，1,23,是线性方程组AXb的三个不同的解，且123(1,2,0,4),(2,1,3,2)TT，则AXb的所有解为.2.设向量组123(1,0,4,5),(2,3,1,5),(0,3,9,15)TTT，则向量组的一个极大线性无关组是，秩是.3.设123(1,0,1,2),(2,1,2,6),(3,1,,4),(4,1,5,10)TTTTa，已知不能由123,,线性表示，则a=.4.设V是实数域R上的全体44阶反对称矩阵所成的线性空间,即44()|,,TijijVAaAAaR写出V的一组基V的维数是,设4阶矩阵02312042,34021220A写出A在上面这组基下的坐标是.5.向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7)TTTT的极大线性无关组是，用此极大线性无关组表示其余的向量。6.设A是54阶矩阵,且()2,rA4维列向量0b,线性方程组AXb的3个解向量为1(1011)T，，，，1(2,1,1)T，0，1(1,)T2,0,0，则线性方程组AXb的通解是.7.在2R中，由基1(1,2)T，2(2,1)T到基1(1,1)T，2(2,3)T的过渡矩阵是，向量(3,1)T在基12,下的坐标是.三、计算与证明题1.已知向量组1234(1,0,0,3),(0,1,1,2),(1,2,3,1),(1,2,3,)TTTTbb的秩为3，（1）求b及1234,,,的一个极大线性无关组；（2）当b取上述（1）中所确定的数值时，问4能否由12,线性表示，3能否由12,线性表示.2.设有两组向量123(1,0,2),(1,1,0),(1,2,1)TTT和123(1,0,1),(1,1,1),(1,1,1)TTT，（1）求实数，使得123,,为3R中的一组基，并求基123,,到基123,,的过渡矩阵M；（2）已知在基123,,下的坐标为(1,1,0)T，求在基123,,下的坐标；（3）取0，求在基123,,与基123,,下有相同坐标的所有非零向量.3.设欧氏空间3R的一组向量123(1,2,0),(2,1,1),(2,1,5)TTT（1）求证：123,,是3R的一组基；（2）把123,,改造成3R的标准正交基123,,；（3）求由基123,,到基123,,的过渡矩阵；(4)向量在基123,,下的坐标是(1,2,0)T，求向量在基123,,下的坐标。4.设线性方程组1234512345131xxxxxxxxxx1）求该线性方程组的通解（要求用该方程组的一个特解与对应导出组的基础解系的线性组合之和来表示），2）写出该方程组解向量集合的一组极大线性无关组.5.(,,,)|,,,TVabcdabcdR,设基I和基II分别为1234(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0),TTTTeeee1234(1,1,1,1),(0,1,1,1),(0,0,1,1),(0,0,0,1),TTTT1）求基I到基II的过渡矩阵；2）分别求向量(4,3,2,1)T在基I和基II下的坐标；3）求一个向量，它在基I和基II下具有相同的坐标.6.已知向量组1011,221a,310b与向量组1123,2301,3967具有相同的秩,且3可由123,,线性表示,求,ab的值,并写出3由123,,线性表示的表示式(只需写出一种表示式).7.设V是实数域R上的全体22阶矩阵，即22,,,,abVRAabcdRcdV的运算是普通矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，V对于这两种运算成为线性空间，V的子集合11;,,,,abVabcdabcdRcd20;,,,,abVabcdabcdRcd问V的子集合1V和2V对于V中的运算是否成为V的子空间（要说明理由）？写出该子空间的一组基，并且求出它的维数.8.设A为n阶矩阵，b为n维非零列向量，12,XX为AXb的两个不同的解，0X为0AX的解，（1）证明12,XX线性无关；（2）若A的秩为1,n则012,,XXX线性相关.9.设向量组12112,,,,,n都是n维向量，121,,,n线性无关，且与12,都正交，求证：12,线性相关.(1).设12,,,k是齐次线性方程组0AX的k个线性无关的解，是线性方程组(0)AXbb的解，求证12,,,,k线性无关.(2).设A为mn阶矩阵()mn，且()rAm，B为()nnm阶矩阵，且()rBnm，已知0AB，且n维非零列向量是齐次方程组0AX的解，求证存在唯一的nm维列向量，使得B.(答案见讲稿)10.设V是欧氏空间，是V中的非零向量，12,,,s是V中的s个向量，求对于任意的k，,0,k当ij时，,0ij，求证：12,,,s是线性无关的。11.设A是mn矩阵,B是mt矩阵,(),rBt令()(,),mntCAB(1)(2)(),,,rXXX为齐次线性方程组0CX的一个基础解系,设()()0()1iiiXXX,这里()0iX是()iX的前n个元素,()1iX是()iX的后t个元素(1,2,,ir),求证:(1)(2)()000,,,rXXX线性无关.12.设A是mn阶矩阵，b是n维非零列向量，n维列向量0是线性方程组AXb的一个解，12,,,s是齐次线性方程组0AX的一个基础解系，求证：001020,,,,s是线性方程组AXb的解集合中的一个极大线性无关组.