线性代数习题4答案(华农)

习题41.110(2)430102求下列矩阵的特征值和特征向量212311122123111:110430(2)(1)01022,1.2,03004000,00,1AAIAxxxxxxxxpA解的特征方程为所以的特征值为当时对应的特征向量应满足-310-410即100解之得它的一个基础解系为所以对应于11112311221231323222020(0)11,210020420042010100,112,121kpkkxxxxxxxxxpAkpk2的全部特征向量为为不等于的任意数当时同样有即解之得它的一个基础解系为所以对应于的全部特征向量为2(0)1k为不等于的任意数22.,AIA设试证的特征值只能是1或-1.22222:,(1)0,,1011,.pAAppApApAppIpppppp证设为的一个特征向量,则则由已知条件所以即因为为非零向量所以即或原命题得证113.,AA若是可逆矩阵的特征值证明是的特征值11111111:,.,,,,pAAppAAAApAppApAppA证设为的特征向量则因为可逆则两边同时左乘得即所以为的特征值BBaABA00020002,33242111.5相似，与设矩阵.,)2(,)1(1BAPPPba使求可逆矩阵的值；求22,2,(2)1.111111222200033200550,5;,10,6(2)2111222ABbAArAIAIaaaaABbbAIx1(1)解：因为与相似，则为的特征值，又因为相似于对角阵，所以对于特征值2，有两个线性无关的特征向量，所以所以即又因为相似，对角线元素之和相等，所以4＋即解：当＝＝时，1231231230203330110101651106222033101,2,3111102013TTxxxxAIxxxPT3解得基础解系为＝，－，，＝，，当时，解得基础解系为：所以能对角化？为何值时，矩阵问设AxxA,00111100.6.1,00010010110101101.1)(111321xxxIAIArAAA向量，所以有两个线性无关的特征对应于特征值所以向量，有三个线性无关的特征，因为，的特征值为解：.230200011.7321等价的正交单位向量组），，（，），，（，），，（求与向量组TTT1112221111323331211221:(1,1,0);010(,)0010(,)220232010(,)(,)343310(,)(,)2422020,Tu解单位化231111(,,0),(0,0,1),(,,0)2222TTTuu；为对角阵，其中使求一个正交矩阵020212022)1(,.81AAPPP123112311:,220212(2)(1)(4)0022,1,424200)232002201:(,1,1)21120)202021TAAIxAIxxxAIx解先求的特征值即得当时,由(解得一个基础解系当时,由(1231112312310001:(1,,1)242200)23200240:(2,2,1),,12(,3TTxxxxAIxxxAp1解得一个基础解系当时,由(解得一个基础解系因为是的对应于三个不同的特征值的特征向量,他们必定正交将三个向量单位化,得2312312312212221,),(,,),(,,)33333333,,,,,.1222001212,0103221004TTTTppppppppPPPPAPPAP构成一个单位正交向量组以为的列向量构成正交矩阵且..121111213213.9AAATT求矩阵），，，（），，（的特征向量分别为，的对应于；矩阵，，的特征值是阶实对称阵设1231231231231231123:,,,3,111,,0;2,,2011[1,0,1],11111121,[,0,],[,,],[,,],22333666TTTTTAxxxxxxxxxxxxxxxpppP解因为为实对称阵其不同的特征值对应的特征向量应相互正交.设是对应于的特征向量则有可得将三个特征向量单位化11111111023623622112121110023636333311111112123623666613251210265213TAPP;得22211.4424fxxyyxzzyz用矩阵记号表示下列二次型（1）121(1),,242121xfxyzyz解：2221232312.2334fxxxxx求一个正交变换，将下列二次型化为标准形：（1）1222123231232311232002334,,032023200200032,032(2)(1)(5)0023023100002200220xfxxxxxxxxxxAAIxAIxxx解：因为则当＝1时解得基础解系为：1212323123311201,1000020120021010,030005022002200,1,11110,,;222TTTxAIxxxxAIxxxuu＝，当＝2时解得基础解系为：＝，当＝5时解得基础解系为：＝单位化：2331122222123331111,0,0;0,,222010110,252211022uxyxyfyyyxy所以则22212312312132313.(,,)55266fxxxxxcxxxxxxx已知二次型的秩为2，求参数c及此二次型矩阵的特征值222123123121323112323(,,)55266513(,,)153331315324720,3;33513153(4)(9)03330,4,9.fxxxxxcxxxxxxxxxxxxcxcccAI解：因为的秩为2。5所以所以所以特征值为222123121314.26422fxxxxxxx判别下列二次型的正定性：（1）22212312131123231126422211,,1601042112120;110;16038016104fxxxxxxxxxxxxxaf解：因为又因为所以负定。222123121315.4222fxxxxxxx当取何值时，下列二次型是正定的：(1)2211114010211110;40;40420410222fAa解：因为二次型的矩阵解得16.,TTfxAxUAUU证明实二次型为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵使121122112212,0,,TniTnnTnnTTnAPPAPPAPAPPUPUAUU证明：必要性：若正定，则存在正交矩阵满足由于正定，所以令显然0,可逆且充分性：22,()()0TTTTTTAUUXXAXXUUXUXUXUXUXUXXAXUXA若则任意非零向量因为可逆，为非零向量，所以为非零向量，所以＝所以正定。