线性代数练习题

北京工业大学实验学院12014/2015学年第一学期《线性代数》(工)单元练习四班级学号姓名成绩第四章向量组的线性相关性与线性方程组一.单项选择题1.向量组n,,,21线性无关的充分必要条件为()A.n,,,21均不为零向量;B.n,,,21中任意两个向量的分量不成比例;C.n,,,21中任意一个向量均不能由其余n-1个向量线性表示;D.n,,,21中有一部分向量线性无关.2.m,,,21均为n维向量,则下列结论正确的是()A.若,02211mmkkk则m,,,21线性无关;B.若对任意一组不全为零的数mkkk,,,21,都有,02211mmkkk则m,,,21线性无关;C.若m,,,21线性相关,则对任意一组不全为零的数mkkk,,,21,都有;02211mmkkkD.若000021m,则m,,,21线性无关.3.321,,线性无关,则以下线性无关的是()A.;,,133221B.;2,,3213221C.;3,32,2133221D.;323,232,3213213214.设,,线性无关,,,线性相关,则()A.线性表示；，，必可由B.线性表示；，，可由必不北京工业大学实验学院2C.线性表示；，，必可由D..线性表示，，必不可由5.设BA,均为n阶非零矩阵,且0AB,则A和B的秩()A.必有一个等于零;B.都小于n;C.一个小于n,一个等于n;D.都等于n.6.设矩阵nmA的秩为(),mRAmnE为m阶单位阵,下述结论正确的是()A.矩阵A的任意m个列向量必线性无关;B.矩阵A的任意一个m阶子式不等于零;C.若矩阵B满足0BA,则0B;D.矩阵A通过初等行变换,必可化为(0)mE的形式.7.设非齐次线性方程组BAX中,(),mnRAr则下列结论成立的为()A.r=m时,方程组有解;B.r=n时,方程组有唯一解;C.m=n时,方程组有唯一解;D.rn时,方程组有无穷解.8.设A为m×n矩阵,B为n维列向量,则下列结论成立的是()A.若0AX仅有零解,则BAX有唯一解;B.若0AX有非零解,则BAX有无穷解;C.若BAX有无穷解,则0AX仅有零解;D.若BAX有无穷解,则0AX有非零解.9.设321,,为四元线性方程组BAX的三个解向量,且()3RA,T)4,3,2,1(1,T)3,2,1,0(32,c为任意常数,则BAX的通解为()A.,11114321cB.,32104321cC.,54324321cD.65434321c10.若TT)1,1,0(,)2,0,1(21均为方程组0AX的解,则A为()A.112,B.110102,C.110201,D.110224二、计算题：北京工业大学实验学院31.向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)TTTt的秩为2,求t.2.设有向量组12345(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1,2,2,0),(2,1,5,10),TTTTT求该向量组的最大线性无关组3.设A为nm矩阵,B为mn矩阵,E为n阶单位阵()nm.已知EBA,试判断A的列向量组是否线性相关?为什么?4.设1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,a2,1),(1,2,4,a8),(1,1,b3,5),(1)ba,为何值时,不能由4321,,,线性表示;(2)ba,为何值时,能由4321,,,唯一线性表示,写出线性表示式.5.对于线性方程组223321321321xxxxxxxxx讨论取何值时,方程组无解,有唯一解和有无穷多解.在方程组有无穷多解时,试用其导出组的基础解系表示全部解.6.设B为三阶非零矩阵,其行向量满足方程组0302022321321321xxxxxxxxx,(1)求;(2)证明|B|=0.四.证明题设*是非齐次线性方程组Axb的一个解,12,,,nr是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明:*,12,,,nr线性无关.北京工业大学实验学院4第四章向量组的线性相关性与线性方程组一.单项选择题1.C.2.B.3.C.4.C.5.B.6.C.7.A.8.D.9.C.10.A.二、计算题：1.向量组)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321t的秩为2,求t.解:t=3.解一:用行列式为0.0321得t=3解二:用矩阵的初等变换得t=3.2.解:以该向量组为列构造矩阵A,对A施行初等行变换:000000100010110203011001424527121203121301)(54321TTTTTA,初等行变换不改变列向量组间的线性关系.所以,421,,为向量组的一个最大无关组.3.解:因为,)()()(nErABrAr另一方面,nAr)(显然成立,所以必有.)(nAr从而A的列向量组线性无关.4.设1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8),(1,1,3,5),aab（1）ba,为何值时,不能由4321,,,线性表示;北京工业大学实验学院5（2）ba,为何值时,能由4321,,,唯一线性表示,写出线性表示式.解:对矩阵)(4321施行初等变换:010000100121101111158153342321211011111abaaba(1)a=-1,b≠0时,r(A)=2≠r(BA|)=3,不能由4321,,,线性表示;(2)a≠-1时,r(A)=r(BA|)=4,能由4321,,,唯一线性表示,进一步计算得线性表示式为32111112ababaab5.对于线性方程组223321321321xxxxxxxxx讨论取何值时,方程组无解,有唯一解和有无穷多解.在方程组有无穷多解时,试用其导出组的基础解系表示全部解.解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换:)1(3)1)(2(010110211)1(311101102112112113112A所以:(1)当12且时,,3)()(ArAr方程组有唯一解;(2)当2时,,3)(2)(ArAr方程组无解;(3)当1时,,31)()(ArAr方程组有无穷解;这时,增广矩阵化为000000002111A,对应的线性方程组为:3212xxx,北京工业大学实验学院6令032xx得方程组的一个特解为:.)0,0,2(0T导出组对应的线性方程组为:321xxx,分别令10,013232xxxx得导出组的一个基础解系为:.)1,0,1(,)0,1,1(21TT所以,方程组的全部解为:2122110,(kkkk为任意常数).6.设B为三阶非零矩阵,其行向量满足方程组0302022321321321xxxxxxxxx,(2)求;(2)证明|B|=0.解:由题意得方程组有非零解,故系数行列式为零,即,011312221解得1.另一方面,当1时,r(A)=2,线性方程组基础解系包含一个向量,所以,r(B)=1,从而|B|=0.四.证明题设*是非齐次线性方程组Axb的一个解,12,,,nr是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明:*,12,,,nr线性无关.证明：设存在一组数12,,,,nrkkkk使得*1122nrnrkkkkO成立用矩阵A左乘上式两边,可得*1122()nrnrAkkkkAOO即:*1122nrnrkAkAkAkAO因为*是非齐次线性方程组Axb的一个解,所以*Ab因为12,,,nr是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,所以12,,,nrAOAOAO所以*1122nrnrkAkAkAkAkbO,0b,所以0k北京工业大学实验学院7又因为12,,,nr是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,12,,,nr线性无关所以有120nrkkk所以由定义知*,12,,,nr线性无关.