线性代数综合练习题及答案

线性代数综合练习题（七）一、选择题1.设A、B为n阶矩阵，则下面必成立的是（）。（A）BABA（B）111)(BABA（C）BAAB（D）BAAB2.设A为n阶矩阵，且0kA，则1)(AE（）。（A）AE（B）12kAAAE（C）12kAAAE（D）AE3.设向量组m,,,21的秩为3，则（）。（A）任意三个向量线性无关（B）m,,,21中无零向量（C）任意四个向量线性相关（D）任意两个向量线性无关4.线性方程组11mnnmbxA，)0(b有解的充要条件是（）。（A）)|()(bARAR（B）mAR)(（C）nAR)(（D）)|()(bARAR5.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是（）。（A）A的n个特征值互不相同（B）A可逆（C）A无零特征值（D）A有n个线性无关的特征向量二、填空题1.各列元素之和为0的n阶行列式的值等于。2.设三阶矩阵432A，则1A。3.设矩阵31211A，321B，则AB，BA，kBA)(（k为正整数）。4.设2)(43AR，300220111P，则)(PAR。5.设向量组321,,线性无关，则向量组211，322，133线性。6.设三阶可逆矩阵A的特征值分别为2、3、5，则A，A的伴随矩阵A的特征值为。7.设实二次型3231212322213212222),,(xxxxxxkxxxxxxf为正定二次型，则参数k的取值范围是。三、计算题1.设693471582010100001100001010X，求矩阵X。2.当取何值时，线性方程组23213213211xxxxxxxxx有（1）惟一解；（2）无解；（3）无穷多解，并求通解。3.设四维向量组00111，11212，11103，12314，54625，求该向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示。4.求一个正交变换PYX，将实二次型3223222132142),,(xxxxxxxxf化为标准形，并判断该二次型是否正定。四、证明题1.设A为n阶矩阵，如果EA2，则nEAREAR)()(。2.设n阶矩阵0A，0kA（k为正整数），则A不能与对角矩阵相似。线性代数综合练习题（七）参考答案一、选择题1.D2.B3.C4.A5.D二、填空题1.02.0000002131413.3,1312123323121,13k13121233231214.25.无关6.30，15，10，67.1k三、计算题1.解：11010100001693471582100001010X010100001693471582100001010963852741.2.解：线性方程组的系数行列式2)1)(2(111111A，（1）当0A，即2且1时，方程组有惟一解；（2）当2时，3)(2)(bARAR，方程组无解；（3）当1时，)(bAA111111111111r000000001111因为31)()(ARAR，所以方程组有无穷多解，且通解为00110101121kkx，21,kk为任意实数.3.解：),,,,(54321A51110421106312121011r00000310002011010101，所以3),,,,(54321R，421,,为向量组54321,,,,的一个极大线性无关组，且213，4215324.解：二次型的矩阵120210002A，A的特征多项式)3)(2)(1(120210002EA，所以A的特征值为11，22，33.11对应的线性无关的特征向量为1101，单位化得212110p；22对应的线性无关的特征向量为0012，单位化得0012p；33对应的线性无关的特征向量为1103，单位化得212130p.所求正交变换为3212121212132100010yyyxxx，二次型的标准形为23222132yyyf，因为011，所以该二次型不是正定二次型.四、证明题1.证：由EA2，得0))((EAEA，则nEAREAR)()(；又nERAEREAREAREAR)2()()()()(，所以nEAREAR)()(.2.证：反证法，假设A与对角矩阵相似，则存在可你矩阵P，使得),,,(211ndiagAPP，则121),,,(PPdiagAn，从而0),,,(121PPdiagAknkkk，所以01，02，…，0n，因而0A，这与0A矛盾，故A不能与对角矩阵相似.