线性代数综合练习题及答案2

线性代数综合练习题（二）一、选择题1.设21321,,,,是四维列向量，且m1321,,,，n3221,,,，则21123,,,（）。（A）nm（B）)(nm（C）mn（D）nm2.如果A为三阶方阵，且2A，则A（）。（A）4（B）8（C）2（D）163.设A为n阶方阵，且0A，则（）。（A）A中必有两行（列）的元素对应成比例，（B）A中至少有一行（列）的元素全为0，（C）A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合，（D）A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。4.设nm矩阵A、B的秩分别为21,rr，则分块矩阵),(BA的秩r满足（）。（A）21rrr（B）21rrr（C）21rrr（D）21rrr5.设A为n阶方阵，C是n阶正交阵，且ACCBT，则下列结论不成立的是（）。（A）A与B相似（B）A与B等价（C）A与B有相同的特征值（D）A与B有相同的特征向量二、填空题1.n阶行列式abbqbaba000000000000。2.设T)3,2,1(，T31,21,1，TA，则nA。3.设三阶矩阵A，B满足BAABAA61，且714131000000A，则B。4.设四阶方阵1100210000120025A，则1A。5.设向量组T3,4,11，Tt1,,22，T1,3,23线性相关，则t。6.设三阶方阵A的特征值为1，2，3，则A，1A的特征值为，A的特征值为。7.设二次型322123222132122),,(xtxxxxxxxxxf为正定二次型，则t的范围是。三、计算题1.求向量组0111，3122，2133，7054，13895的秩与一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示。2.为何值时，方程组1554212321321321xxxxxxxxx有惟一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出方程组的通解。3.三阶实对称矩阵A的特征值为11，132，对应于特征值1的特征向量为1101p,求A。4.已知二次型323121232221321444),,(xxxxxxxxxxxxf，（1）写出二次型f的矩阵表达式，（2）用正交变换把f化为标准形并写出相应的正交变换。四、证明题1.设A为n阶方阵，如果存在正整数k，使得0kA，证明AE可逆，并求逆。2.设21是n阶方阵A的特征值，对应的特征向量分别为21,pp，证明21pp不是A的特征向量。线性代数综合练习题（二）参考答案一、选择题1.C2.A3.C4.A5.D二、填空题（每空3分）1.nnnba1)1(；2.131213233231211n；3.123B；4.31313231000000520021；5.36.6，31,21,1，6，3，2；7.2121t.三、计算题1.解：),,,,(54321A1372308011195321r4220017543095321r211003301032001，所以3),,,,(54321R，321,,是一个最大无关组，并且有321432，3215233.2.解：)1)(54(5541112D，当0D，即1且54时，方程组有惟一解.当1时，155421111112),(ABr000011101001此时2)()(BRAR，方程组有无限多个解.，并且通解为110011321cxxx)(Rc，当54时，1554211112),(5454ABr10001055455410此时3)(,2)(BRAR，方程组无解.3.解：先求对应于特征值1的特征向量，设321xxx是对应于1的特征向量，则有01pT，因而0011c，1102c，c为不等于0的任意常数.取212110，0012，212130，令),,(321P，则有1111APPAPPT，因此，TPPA111010100001.4.解：（1）321321321122212221),,(),,(xxxxxxxxxfAXXT（2）2)1)(5(122212221EA，所以A的特征值为51，132，当51时，由0)5(XEA得对应于5的特征向量1111，当132时，由0)(XEA得对应于1的特征向量0112，2113.取3131311，021212，6261613，令),,(321P，则P为正交矩阵，且1151APPAPPT，因此，所求的正交变换为PYX，并且2322215yyyf四、证明题1.证：0kAEAEkEAAAEAEk))((12所以，AE可逆，并且121)(kAAAEAE.2.证：假设21PP是A的对应于的特征向量，则)()(2121PPPPA因为222111,PAPPAP,所以0)()(2211PP，由于21,PP是对应于不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，从而2121,0，矛盾！