线性代数考试题及答案4

《线性代数》试卷（B）第1页共10页2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。2、闭卷考试。题号一二三四五总分分数评阅人:_____________总分人：______________一、单项选择题。(每小题3分,共24分)【】1.行列式2111021010211102(A)0(B)1(C)2(D)3【】2.设A为3阶方阵，数2，3A，则A(A)24(B)24(C)6(D)6【】3.设n阶方阵CBA,,满足关系式EABC,其中E是n阶单位阵，则必有(A)EBCA(BECBA(C)EBAC(D)EACB【】4.设A为2阶方阵,02A，则A(A)2（B)4(C)8(D)16【】5.设向量组A与向量组B等价，则有(A)BARR(B)BARR(C)BARR(D)不能确定AR和BR的大小【】6.设线性方程组bAx的系数矩阵A的秩为)(AR，增广矩阵),(bA的秩为),(bAR，则bAx有解的充分必要条件是得分__________________系__________专业___________班级姓名_______________学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………密封线内答题无效《线性代数》试卷（B）第2页共10页(A)),()(bARAR(B)),()(bARAR(C)),()(bARAR(D)),()(bARAR【】7.向量组)2(,,,21maaam线性无关的充分必要条件是(A)maaaRm),,,(21(B)maaaRm),,,(21(C)maaaRm),,,(21(D)maaaRm),,,(21【】8.如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则有(A)nAR)((B)A与对角阵相似(C)A没有n个线性无关的特征向量(D)A一定是对称阵二、填空题。(每小题3分,共15分)1.已知3阶行列式D的第1行元素分别为2,1,1，它们的余子式分别为1,2,1，则D。2.设矩阵方程30121011X，则X。3.设21,是非齐次线性方程组bAx的两个解，则为对应齐次线性方程组0Ax的解。4.设nm矩阵A的秩rAR)(，则n元齐次线性方程组0Ax的解集S的sR。5.设方阵A可逆，是方阵A的特征值，则是1A的特征值。三、计算题(每小题8分,共40分).得分得分《线性代数》试卷（B）第3页共10页1．计算行列式2605232112131412。2.已知矩阵032203120A，求其逆矩阵1A。3.设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知21,是它的两个解向量且《线性代数》试卷（B）第4页共10页43211，54322，求该方程组的通解。4.求矩阵3113A的特征值和特征向量。5.用配方法化二次型31212322214253xxxxxxxf成标准型。《线性代数》试卷（B）第5页共10页四、综合体(每小题8分,共16分)1.解下列非齐次线性方程组2534432312432143214321xxxxxxxxxxxx2.已知向量组得分《线性代数》试卷（B）第6页共10页262,231,031321aaa求)1(向量组的秩；)2(向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。五、证明题（5分）证明：设n阶方阵A满足0342EAA，证明A及EA3都可逆，并求1A及1)3(EA。一、单项选择题。(每小题3分,共24分1A2B3A4A5C6C7C8B二、填空题。(每小题3分,共15分)1.42.30223.214.rn5.1得分《线性代数》试卷（B）第7页共10页三、计算题(每小题8分,共40分).1.解：2605232112131412=2605050326051412………………（3分）=265053265)1(21………………（3分）=0………………（2分）2.已知矩阵032203120A，求其逆矩阵1A。解：100032010203001120),(EA………………（3分）649100324010436001~r,………………（3分）则6493244361A………………（2分）3.设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知21,是它的两个解向量且43211，54322，求该方程组的通解。解：由已知可得：对应的齐次线性方程组0Ax的解集S的秩为123，因此齐《线性代数》试卷（B）第8页共10页次线性方程组0Ax的任意非零解即为它的一个基础解系。………………（2分）令12,则0)(2121bbAAAA所以0)1,1,1,1(T为齐次线性方程组0Ax的一个基础解系。………………（3分）由此可得非齐次线性方程组bAx的通解为：)(54321111Rkkkx也可为)(43211111Rkkkx………………（3分）4.求矩阵3113A的特征值和特征向量。解：A的特征多项式为：)4)(2(3113EA所以A的特征值为4,221。………………（4分）（1）当21时，对应的特征向量满足00111121xx，解得：21xx则21对应的特征向量可取111p………………（2分）（2）当41时，对应的特征向量满足00111121xx，解得：21xx则41对应的特征向量可取112p………………（2分）《线性代数》试卷（B）第9页共10页5.用配方法化二次型31212322214253xxxxxxxf成标准型。解：23223121215342xxxxxxxf322322232142)(xxxxxxx232222321)2(2)(xxxxxx………………（4分）令32322321122xxyxyxxxy则把f化成标准型得：232221yyyf………………（4分）四．综合题（每小题8分,共16分）3.1.解下列非齐次线性方程组2534432312432143214321xxxxxxxxxxxx解：对增广矩阵B作初等行变换253414312311112B000007579751076717101~r………………（4分）由上式可写出原方程组的通解为：),(00757610797101757121214321Rccccxxxx………………（4分）4.已知向量组262,231,031321aaa求)1(向量组的秩；)2(向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。《线性代数》试卷（B）第10页共10页解：220633211A000110101~r………………（2分）则2AR，………………（2分）故向量组的最大无关组有2个向量，知21,aa为向量组的一个最大无关组。………（2分）且213aaa………………（2分）五、证明题（5分）证明：设n阶方阵A满足0342EAA，证明A及EA3都可逆，并求1A及1)3(EA。证明：（1）由已知可得：EEAAEEAA)]4(31[3)4(，知A可逆，)4(311EAA…………（2分）（2）由已知可得EEAEAEAA6))(3(342,EEAEA)](61)[3(知EA2可逆，)(61)3(1EAEA…（2分）