线性代数试题(附答案)

模拟试题一一、填空题（每题2分，共20分）1.行列式0005002304324321=。2.若齐次线性方程组00202kzykxzkyxzykx有非零解，且12k,则k的值为。3.若4×4阶矩阵A的行列式AA,3是A的伴随矩阵则A=。4.A为nn阶矩阵，且EAA232，则1A。5.321,,和321,,是3R的两组基，且32133212321122,2,23，若由基321,,到基321,,的基变换公式为(321,,)=(321,,)A，则A=6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(a。7.设)(,111012111,321212113ABtrABBA之迹则。8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133AA。9.二次型xxxxxxf23222132123),,(的正惯性指数为。10.矩阵1042024A为正定矩阵，则的取值范围是。二、单项选择（每小题2分，共12分）1.矩阵)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111AribababababababababababababababababaAii则其中。A、1B、2C、3D、42.齐次线性方程组02023214321xxxxxxx的基础解系中含有解向量的个数是（）A、1B、2C、3D、43.已知向量组kaakaa则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321（）A、-1B、-2C、0D、14.A、B则必有且阶矩阵均为,))((,22BABABAn（）A、B=EB、A=EC、A=BD、AB=BA5.已知kAkaT则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（）A、1或2B、-1或-2C、1或-2D、-1或26.下列矩阵中与矩阵合同的是5000210002（）A、200020001B、500020003C、100010001D100020002三、计算题（每小题9分，共63分）1．计算行列式),2,1,0(0000002211210niaacacacbbbainnn其中2．当axxxxxxxxxxxxxxxxa4321432143214321710535105363132,线性方程组取何值时有解？在方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组的通解。3．给定向量组),7,0,3(),0,2,1,1(),6,5,1,2(),4,0,1,1(4321kaaaa。当k为何值时，向量组4321,,,aaaa线性相关？当线性组线性相关时，求出极大线性无关组，并将其们向量用极大线性无关组线性表示。4．设矩阵410110003A，XBXAXB求矩阵且满足,2,321163。5．已知nA为阶正交矩阵，且|A|0。（1）求行列式|A|的值；（2）求行列式|A+E|的值。6．已知实对称矩阵101020101A（1）求正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵；（2）求A10。7．将二次型3231212322213214222),,(xxxxxxxxxxxxf化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。四、证明题（5分）A、B均为n阶矩阵，且A、B、A+B均可逆，证明：（A-1+B-1）-1=B（A+B）-1A模拟试题二一、填充题（每小题2分，共20分）1.000001002001000nn。2.n0011=（n为正整数）。3.设A=1101，则1)2(A=。4.非齐次线性方程组11mnnmbXA有唯一解的充分必要条件是。5.向量下的坐标为在基TTTa)1,2(,)2,1()1,3(21。6.阶矩阵若nA、B、C有ABC=E,E为1Cn阶单位矩阵则。7.若n阶矩阵A有一特征值为2，则EA2。8.若A、B为同阶方阵，则22))((BABABA的充分必要充分条件是。9.正交矩阵A如果有实特征值，则其特征值等于。10.二次型的取则是正定的txxxxtxxxfxxx,2232),,(3121232221321值范围是。二、单项选择（每小题2分，共10分）1.若的值为则1200202,62122111222211211aaaaaaaa（）A、12B、-12C、18D、02.设A、B都是则下列一定成立的是阶矩阵且,OABn（）A、A=0或B=0B、A、B都不可逆C、A、B中至少有一个不可逆D、A+B=O3.向量组件是线性相关的充分必要条saaa,,21（）A、中含有零向量saaa,,21B、saaa,,21中有两个向量的对应分量成比例C、saaa,,21中每一个向量都可用其余1s个向量线性表示D、saaa,,21中至少有一个向量可由其余1s个向量线性表示4.由的过渡矩阵为到基的基321332232113,,,,32aaaaaaaaR（）A、300020321B、103012001C、100010321D、1030120015.若则相似与阶矩阵,BAn（）A、它们的特征矩阵相似B、它们具有相同的特征向量C、它们具有相同的特征矩阵D、存在可逆矩阵BACCCT使,三、计算题（每小题9分，共63分）1.计算行列式nnnnnn1100002000002200001113212.bxxxxaxxxxxxxxxxxx4321432143214321574227212线性方程组当a、b为何值时有解，在有解的情况下，求其全部解（用其导出组的基础解系线性表示）。3.求向量组)11,9,5,8(),2,1,1,3(),10,7,1,1(),1,1,1,2(4321aaaa的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示。4.设XBAXBAX求其中,350211,101111010,5.已知矩阵相似与,00030000300011011xBA（1）求BAPPPx1,)2(;使求可逆矩阵6.给定TTTaaaR)3,2,1(,)1,0,1(,)1,1,1(3213的基，将其化为的一组标准3R正准交基，并求向量下的坐标在所求的标准正交基之Ta)1,2,3(。7.化二次型3121232221321245),,(xxxxxxxfxxx为标准形，写出相对应的非奇异线性变换。并指出二次型的秩、正惯性指数及符号差。四、证明题（7分）`如果A是1)(,1)(),2(ArnArnn试证且阶矩阵线性代数模拟试题参考答案模拟试题一一、填空题（每小题2分，共20分）1.1602.-23.274.AE21235.2111222136.-97.78.1,21,319.110.33二、单项选择（每小题2分，共12分）1.A2.B3.C4.D5.C6.B三、计算题（每小题9分，共63分）1.将第2列的)(11ac倍，第3列的列的第倍)1(,,)(22nac)(nnac倍统统加到第1列上去，得nnnnnaaabbbacbacbacba00000000021212221110原式)(1021niiiinacbaaaa2.先对方程组的增广矩阵进行初等行变换000005000011210040010000050000224201321132420448402242013211710535110513163113211aaaaA所以，当,5时a方程组有解，特解T),0,0,1,0(0其导出的基础解系为,)1,0,1,4()0,1,2,0(1TT原方程组的全部解为2122110,,kkkkX为任意常数。3.由向量组4321,,,aaaa为列向量组作矩阵1400011001010200114000110010104021140001100101031211040022001010312112420725030303121064725001113121kkkkkkA当14k时，向量组4321,,,aaaa线性相关。向量组的极大线性无关组是,,,321aaa且,23214aaaa4.由AX=2X+B得，（A-2E）X=B所以有X=1)2(EAB=3211632101100011=1314633211631101200015.由于,12A则,1A因为，0A，所以TAAAEAA.1,)(EAAEAAEATT所以，0EA6.2)2(AE，所以A的4特征值为2,0321。对应与特征于01的特征向量T)10,1(，标准正交化Ta)21,0,21(1；对应于特征值232的特征向量T)01,1(，T)0,1,0(，标准正交化，Ta)21,0,21(2，Ta)0,1,0(3。由此可得正交矩阵0212110002121),,(321aaaQ，使得为对角矩阵AAQQAQQT2000200001。99109911010202020202QQAA7.二次型322223213212)(),,(xxxxxxxxfxxxxxxx232322321)()(令333223211xyxxyxxxy所作的可逆线性变换为33322211yxyyxyyx可将原二次型化为标准型yyyf232221四、证明题（5分）证明：ABABBABABAABABBA1111111)()()()(ABAAAABABA1111)()(EABAABA111)()(或11111111111)()(ABBBAABABBAAABAB11BA模拟试题二一、填空题1.!)1(2)1(nnn2.00113.21021214.nAbrAr)()(5.)35,31(6.AB7.08.AB=BA9.1或-110.53t二、单项选择题1.A2.C3.D4.B5.A三、计算题1.原式=nnnnnnn110000200000220000101322)1(nnnnn1100