线性代数试题1

第1页共7页全校各专业《线性代数》课程试卷试卷A考试方式闭卷考试时间（120分钟）题号一二三四五总分得分一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设A，B为n阶方阵，满足等式0AB，则必有（）(A)0A或0B;(B)0BA；（C）0A或0B;(D)0BA。2、A和B均为n阶矩阵，且222()2ABAABB，则必有（）(A)AE；(B)BE；（C）AB.(D)ABBA。3、设A为nm矩阵，齐次方程组0Ax仅有零解的充要条件是（）(A)A的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；（C）A的行向量线性无关；(D)A的行向量线性相关.4、n阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是（）(A)A的秩小于n；(B)0A；(C)A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A的行列式5A，A是A的伴随矩阵，则A=。6、A为nn阶矩阵，且220AAE，则1(2)AE。7、已知方程组43121232121321xxxaa无解，则a。8、二次型2221231231213(,,)2322fxxxxxtxxxxx是正定的，则t的取值范围是。三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式1111111111111111xxDyy得分得分得分第2页共7页10、计算n阶行列式121212333nnnnxxxxxxDxxx四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）11、若向量组123,,线性相关，向量组234,,线性无关。证明：(1)1能有23,线性表出；(2)4不能由123,,线性表出。12、设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，EA可逆，且1()()()fAEAEA。证明（1）(())()2EfAEAE；（2）(())ffAA。得分第3页共7页五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）13、设200032023A，求一个正交矩阵P使得1PAP为对角矩阵。14、已知方程组040203221321321xaxxaxxxxxx与方程组12321axxx　有公共解。求a的值。得分第4页共7页15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1，2，3是它的三个解向量，且54321，432132求该方程组的通解。第5页共7页解答和评分标准一、选择题1、C；2、D；3、A；4、A。二、填空题5、-125;6、2；7、-1；8、53t。三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：001111001111xxxDyyy第二列减第一列，第四列减第三列得：000110000101xxDyy（4分）按第一行展开得100001xDxyy按第三列展开得2201xDxyxyy。（4分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子niix13，再通过行列式的变换化为上三角形行列式2212113313nnnniinxxxxDxxx（4分）2110303003nniixxx1133nniix（4分）四、证明题11、证明：(1)、因为332,，线性无关，所以32，线性无关。，又321，，线性相关，故1能由32，线性表出。(4分)123()3r，，，（2）、（反正法）若不，则4能由321,，线性表出，不妨设3322114kkk。由（1）知，1能由32，线性表出，第6页共7页不妨设32211tt。所以3322322114)(kkttk，这表明432,，线性相关，矛盾。(4分)12、证明（1）1(())()[()()]()EfAEAEEAEAEA1()()()()()()2EAEAEAEAEAEAE（4分）（2）1(())[()][()]ffAEfAEfA由（1）得：11[()]()2EfAEA，代入上式得11111(())[()()]()()()()()222ffAEEAEAEAEAEAEAEA11()()22EAEAA（4分）五、解答题13、解：（1）由0EA得A的特征值为11，22，35。（4分）（2）11的特征向量为1011，22的特征向量为2100，35的特征向量为3011。（3分）（3）因为特征值不相等，则123,,正交。（2分）（4）将123,,单位化得101121p，2100p，301121p（2分）（5）取12301011,,02211022Pppp（6）1100020005PAP（1分）14、解：该非齐次线性方程组bAx对应的齐次方程组为0Ax因3)(AR，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。（5分）另一方面，记向量)(2321，则022)2(321321bbbAAAAA直接计算得0)6,5,4,3(T，就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为第7页共7页543265431kkx，Rk。（7分）15、解：将①与②联立得非齐次线性方程组:.12,04,02,03213221321321axxxxaxxaxxxxxx　　③若此非齐次线性方程组有解,则①与②有公共解,且③的解即为所求全部公共解.对③的增广矩阵A作初等行变换得:112104102101112aaaA11000)1)(2(0001100111aaaaa.（4分）1°当1a时，有()()23rArA，方程组③有解,即①与②有公共解,其全部公共解即为③的通解，此时0000000000100101A，则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为:101,所以①与②的全部公共解为101k，k为任意常数.（4分）2°当2a时，有()()3rArA，方程组③有唯一解,此时0000110010100001A，故方程组③的解为:011,即①与②有唯一公共解011x.（4分）