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习题1.11.对一组整数进行四则运算，所得结果是什么数解（1）整数相加得到整数；（2）整数相减得到整数；（3）整数相乘得到整数；（4）整数相除得到的是有理数。所以对一组整数进行四则运算得到的是有理数。2．写出4个数码1,2,3,4的所有4阶排列.分析4阶排列是指由1,2,3,4构成的有序的数组,共有4！个,每个数字必须出现且只能出现一次,具体做法可以是先确定排在第一位的数,比如为1,然后排第二位的数分别为2,3,4,接着排第三位、第四位的数.解1234124313241342142314322134214323142341241324313124314232143241341234214123413242134231431243213．分别计算下列四个4阶排列的逆序数,然后指出奇排列是（A）（A）4312；（B）4132；（C）1342；（D）2314分析计算排列逆序数的方法有两种:方法一12111()()niiiii后面比小的数的个数＋222()ii后面比小的数的个数＋＋111()nnnii后面比小的数的个数方法二1前面比1大的数的个数＋2前面比2大的数的个数＋＋(1)n前面比1n大的数的个数.逆序数是奇数的称为奇排列，逆序数是偶数的成为偶排列.解按方法一计算：(4312)325奇排列(4132)314偶排列(1342)112偶排列(2314)112偶排列故选A.4．计算以下各个排列的逆序数,并指出它们的奇偶性:（1）314265；(2)314265789；（3）542391786；（4）987654321；（5）246813579；（6）(1)21nn.解按习题3分析中的方法一计算：（1）(314265)2114偶排列（2）(314265789)2114偶排列（3）(542391786)431141115奇排列（4）(987654321)8765432136偶排列（5）(246813579)123410偶排列（6）1((1)21)(1)(2)21(1)2nnnnnn,这表明该排列的逆序数与n有关,故要对n进行讨论:当4,41nkk时1(1)2nn为偶数，此时排列(1)21nn.为偶排列;当42,43nkk时1(1)2nn为奇数，此时排列(1)21nn.为奇排列.5．在由1,2,3,4,5,6,7,8,9组成的下述9阶排列中,选择ij与使得:（1）2147958ij为偶排列；（2）1254896ij为奇排列；（3）4125769ij偶排列；（3）3142786ij奇排列.均要求说明理由.分析排列1254896ij中的两个未知数ij与据排列的定义只能取3或7.因而只有两种情况：1132574896与2172534896，然而我们只需计算上述的一个排列就可得知结果，因为1与2是3和7作一次对换得到的，而作一次对换必改变排列的奇偶性，也就是说若1为偶排列,则2必为奇排列.其余题解法也类似.解（1）取3,6ij有(214739568)11226为偶排列,符合题目要求.（2）取3,7ij有(132574896)112116为偶排列,故取7,3ij时172534896为奇排列,符合题目要求.（3）取3,8ij有(412357698)3115为偶排列，符合题目要求.（4）取5,9ij有(531429786)42131112为偶排列.故取9,5ij时931425786为奇排列,符合题目要求.6.写出全体形如52253及的5阶排列.总结一下，有k个位置数码给定的()nnk阶排列有多少个？分析形如52的5阶排列中5和2的位置已经确定，3个位置只能取数字1，3，4中的某一个.解形如52的5阶排列中第一个可取1，3，4中的任何一个，故有3种取法，第二个可取剩下数字当中的任一个，有两种取法，最后一个只能取余下的那一个数，据乘法原理共有3213!种取法，即形如52的阶排列有（5－2）！个.同理形如253的阶排列共有（5－3）！个.因而，有k个位置数码给定的()nnk阶排列有()!nk个.7.自学附录一：连加号.与连乘号