线性代数课后习题答案1.2

习题1.21.按行列式定义,计算下列行列式(要求写出过程):(1)22baba;(2)1loglog1baab;(3)cos1sintan;(4)00000dcba;(5)111111111;(6)edba00000.分析计算2阶行列式和3阶行列式可用对角线法则.解(1)22baba=22baab;(2)1loglog1baab=1ablogbalog110;(3)cos1sintan=0sincostan;(4)00000dcba=00000000000acbdabcd;(5)111111111=111(1)(1)(1)11111(1)(1)111(1)11111114;(6)0000abcde=00000000abecdbcdaeabeacd.2.在6阶行列式ija中,下列项应该取什么符号?为什么?(1)233142561465aaaaaa;(2)324354116625aaaaaa;(3)215316426534aaaaaa;(4)511332442665aaaaaa.解(1)因(234516)(312645)448,所以取正号;另一种方法是:233142561465aaaaaa=142331425665aaaaaa,因(431265)6,所以取正号.(2),(3),(4)也可这样做,不再列出.(2)因(345162)(234165)7411,所以取负号;(3)因(251463)(136254)6511,所以取负号;(4)因(513426)(132465)628,所以取正号.3.当i___,k=___时13242553ikaaaaa成为5阶行列式ija中一个取负号的项,为什么?解i和k只能取1,4或者4,1.不妨先假设1,4ik,则13242553ikaaaaa=1132442553aaaaa,这个项的符号就是(13425)(12453)4(1)(1)1,不符合要求.那么当4,1ik时13242553ikaaaaa=1432412553aaaaa,它和1132442553aaaaa相比就是交换了列指标1和4的位置,因(12453)与(42153)相比改变了奇偶性,所以1432412553aaaaa的符号为负.故应填4,1ik.4.若(415)(12345)41213455(1)kikiaaaaa是5阶行列式ija中的一项,则当i___,k=___时该项的符号为正,当i___,k=___时该项的符号为负,为什么?解此问和问题3类似,i和k只能取2,3或者3,2.不妨先假设2,3ik,则符号为(43125)(12345)(1)=5(1)(1),所以取的是负号.那么由问题3的分析可知当3,2ik时符号取正.所以当3,2ik时该项的符号为正,当2,3ik时该项的符号为负.5.写出4阶行列式ija中包含因子4223aa的项,并指出正负号.解参照习题1.1的第6题知,4阶行列式ija中包含因子4223aa的项有11233442aaaa和14233142aaaa.由于(1342)2，故11233442aaaa取正号;(4312)5，故14233142aaaa取负号.6.写出4阶行列式ija中所有取负号且包含因子23a的项.解类似于第5题可推知,4阶行列式中包含23a的项为11233244aaaa(1324)1取负号;11233442aaaa(1342)2取正号;(也可由(1)取负号推知(2)取正号)12233441aaaa(2341)3取负号;12233144aaaa(2314)2取正号;(也可由(3)取负号推知(4)取正号)14233142aaaa(4312)5取负号;14233241aaaa(4321)6取正号.(也可由(5)取负号推知(6)取正号)所以所求的项为11233244aaaa,12233441aaaa,14233142aaaa.7.按行列式定义,计算下列行列式((4)中1n,并均要求写出计算过程):(1)1012003ab;(2)000000000000abcd;(3)1234512345121212000000000aaaaabbbbbccddee;(4)11121,1121222,11,11,21000000nnnnnnaaaaaaaaaa.解(1)由对角线法则,1012003ab=(1)(2)(3)00011(2)0ab(1)00(3)(6)6baabab;(2)根据定义44ija=123412341234()1234(1)jjjjjjjjjjjjaaaa.在行列式000000000000abcd的通项中,只有11233244aaaa这一项的因子中不含零,所以原式=(1324)11233244(1)aaaa=11233244aaaa=abcd.(3)根据定义55ija=123451234512345()12345(1)jjjjjjjjjjjjjjjaaaaa.在行列式1234512345121212000000000aaaaabbbbbccddee的通项中每一个项1234512345jjjjjaaaaa中最后三个因子345345,,jjjaaa分别取值于行列式最后三行的不同列的三个数,而行列式最后三行中均只有二个数不为零,所以这三个因子中至少一个取零.这样行列式的每一项中都含有因子零,所以每项都为零,从而行列式为零.(4)根据定义ijnna=121212()12(1)nnnjjjjjnjjjjaaa,该展开式通项1212njjnjaaa中nnja取自11121,1121222,11,11,21000000nnnnnnaaaaaaaaaa的第n行,现在第n行中除了1na外其余元素都为零.故若1nj,则对应的行列式展开式中的那一项一定为零,求和时可不考虑.因此只要考虑1nj的项.同样对于行列式的第1n行中除了1,1na和1,2na外其余元素都为零,且因1nj,从而1nj只能取2了.依次类推,行列式展开式的所有项中除去列指标12(1)1njjjnn对应的项外都为零.又因为1((1)1)(1)2nnnn,所以原式=1(1)212,11,21(1)nnnnnnaaaa.8.问111422233233414400000000aaaaaaaa=1122334414233241aaaaaaaa为什么错?正确答案是什么?解错,原因在于没有搞清楚4阶行列式定义而把2,3阶行列式的对角线法则误认为对4阶行列式也成立.4阶和4阶以上的行列式没有对角线法则.正确答案为:11223344142332411123324414223341aaaaaaaaaaaaaaaa.具体解法可参考习题1.4第5题之(3).9.若n阶行列式ijDa中元素ija(,1,2,,)ijn均为整数,则D必为整数,这结论对不对?为什么?解对.行列式的值是行列式中取自所有不同行不同列的元素乘积的代数和,而整数经加,减,乘之后仍然为整数.10.计算(1)nn阶行列式0001001001001000.解方法一该行列式的展开式只有一项不为零,即12,11nnnaaa,而该项带有的符号为(1)((1)1)2(1)(1)nnnn,所以原式=(1)(1)22(1)(1)(1)nnnnn.方法二直接利用第7题第(4)小题的结论得:原式=(1)(1)22(1)(1)(1)nnnnn.