线性代数重点知识总结

说明：1.本总结只是把课本的重点知识总结了一下，我没有看到期末考试题，所以考着了算是侥幸，考不着也正常。2.知识点会了不一定做的对题，所以还要有相应的练习题。3.前后内容要贯穿起来，融汇贯通，建立自己的知识框架。第一章行列式1.行列式的定义式（两种定义式）--行列式的性质--对行列式进行行、列变换化为上下三角（求行列式的各种方法逐行相加、倒叙相减、加行加列、递推等方法，所有方法是使行列式出现尽可能多的0为依据的）。2.行列式的应用——克拉默法则（成立的前提、描述的内容、用途，简单的证明可从逆矩阵入手）。总结：期末第一章可能不再单独考，但会在求特征值/判断正定性等内容时顺便考察行列式的求解。第二章矩阵1.矩阵是一个数组按一定的顺序排列，和行列式（一个数）具有天壤之别。2.高斯消元法求线性方程组的解—唯一解、无解、无穷解时阶梯型的样子(与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起)3.求逆矩阵的方法（初等变换法，I起到记录所有初等变换的作用）、逆矩阵与伴随矩阵的关系。4.初等矩阵和初等变换的一一对应关系，学会由初等变换找出与之对应的初等矩阵。5.分块矩阵（运用分块矩阵有时可以很简单的解决一些复杂问题）记得结论A可逆，则)A-(1|A|A-1TT。第三章线性方程组第三章从向量组的角度入手，把线性方程组的系数矩阵的每一列看作一个列向量，从而得到一个向量组假设为n21,,,，右边常则看作一个向量，1）若向量被向量组n21,,,表出唯一（即满足关系：nnn),,,,(r),,,(r2121时，因为只有向量组n21,,,线性无关才表出唯一），则只有唯一解；2）若不能由向量组n21,,,线性表出（即满足条件),,,,(r1),,,(r2121nn时）则无解；3）若由向量组n21,,,表出不唯一（即满足条件nnn),,,,(r),,,(r2121时，只有n21,,,线性相关才表出不唯一）有无穷解。1.线性相关、线性无关的定义、描述及判定2.向量组的秩的定义及极大线性无关组的求法(化为阶梯型后同高度选一个)3.矩阵的秩向量组的秩相对应。4.齐次线性方程组非零解的条件(nn),,(r1，列向量线性相关或秩)和解得结构(),,(r-n1n个线性无关的解的线性组合)。5.非齐次线性方程组的解存在的条件(),,(r),,(r11，nn)及解的结构(对应的齐次线性方程组的解+一个特解)。第四章向量空间和线性变换第二章高斯消元法关于如何求线性方程组的解，多用于线性方程组解的计算；第三章线性方程组的解从向量组的角度来讨论解存在的条件及解的结构，向量被向量组s,,,21线性表出形式与xs),,,(21的解相互对应；第四章是从线性变换和空间的角度来讲解线性方程组的解。1)线性变换：线性方程组的解看做原像，线性方程组的右端项看作是线性变换的像。线性方程组有解就说明右端项)(在线性变换的A的象空间里。2）内积结合线性子空间的角度考虑线性方程组解的结构(主要是齐次线性方程组的解的结构，齐次线性方程的系数组成的列向量组所张成的子空间和解空间互为正交补，注：互为正交补的空间为维数加起来等于全空间的维数且相互正交的子空间）。重要内容：坐标变换、过渡矩阵、施密特正交化方法。第五章特征值特征向量矩阵的对角化特征值和特征向量承接了第四章的线性变换的定义，一个矩阵A的特征向量，则满足条件A(线性变换不改变向量的方向)，变化前后（A和）两个向量相差一个倍数，恰好就是特征值。nnA至多有n个线性无关的特征向量，这是因为线性变换的像空间的维数至多为n维的。当A恰好有n个线性无关的特征向量时A可对角化，即存在关系为n2121121),,,(A),,,(nn。注意并不是所有的矩阵都可以对角化的，只有含n个线性无关的特征向量的矩阵才可以对角化。对于所有的实对称的矩阵则都可以对角化，并且不同特征值的特征向量相互正交，且对角化的矩阵可以为正交矩阵。重要内容：1.求特征值、特征向量2、实对称矩阵运用正交阵来对角化（求正交矩阵）3、特征值、特征向量的关系，例如不同特征值的特征向量的和不再是特征向量，不同特征值得特征向量线性无关，实对称不同特征值的特征向量相互正交。第六章二次型二次型把二次齐次多项式),,,(21nxxxf写为AxxT的形式，其中A为实对称矩阵，则根据第五章内容实对称矩阵都相似于一个对角矩阵，得出存在正交矩阵P使得APPT。注意相似与合同的区别，相似矩阵是APPB-1，合同矩阵是AQQCT（合同矩阵要保持对称性，所以形式上就有很大的差别）。若是存在可逆阵Q使得AQQCT，则进行可逆的线性代换Qxy即可把二次型化为yyAQxQx),,,(TTT21nxxxf，即化为只含平方项的标准二次型。化为标准二次型有三种方法：配方法、正交矩阵方法（对角元素为特征值）、初等变换法。惯性定理描述了只要合同变换时运用的是可逆矩阵则正负惯性指数是不变的。正定矩阵的定义、性质、判定方法、等价描述是考察的一个重点。重点内容：1.三种化为标准型的方法(严格按照)2.正定矩阵的定义、性质、判定方法、等价描述。